Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
{Ki,Kj] =SijkKk, [Ki,pj} = sijkpk, {pi,pj} = 0. (10.2)
В силу интеграла M3 = const гамильтониан (10.1) можно записать в переменных Ki^pj (пользуясь также тем, что M2 = К2)
Я =IK2 -<^±(aip\ + а2р22 + а3р23). (10.3)
Уравнения движения с гамильтонианом (10.3) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Неймана). Эта аналогия была замечена в [17] без использования уравнений на алгебре (10.2). § 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 167
Если отказаться от требования динамической симметрии, гамильтониан системы с условиями коммутации (1.3) (§2 гл. 2) имеет вид [18]
H = і (AM, М) - X(A-1^a) - V(A-1PJj) - z( A^7l7), (10.4)
где x,y,z Є R, А — матрица, обратная матрице инерции I. Отождествим трехмерные векторы М, а,/3,7 с кососимметрическими матрицами (которые обозначим также) и рассмотрим алгебру переменных М, и компонент симметрической матрицы и = ха2 + y?2 + Z72. В матричных обозначениях условия коммутации в алгебре /9, каждый элемент которой представим в форме 1 = M + и. можно записать в виде
[М, u] = Mu — иМ, [MbM2] = M1M2 - M2M1, [иьи2] = 0, (10.5)
а соответствующая этой алгебре Ли скобка Ли Пуассона примет вид
{/,?} = У (10-6)
1 6/ z^ 3 дхгдх> К '
Ij /.'
Скобка Пуассона (10.6) обладает функциями Казимира
J4 = Tr(u), J5 = Tr(u2), J6 = Tr(u3),
и при ограничении на шестимерное многообразие M6, определяемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной. Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов.
Гамильтониан (10.4) в переменных M5U имеет вид
J1 = H = Tv Q(M5AM) - (uA"1)) ,
а сами уравнения можно записать в компактной форме
M = [М —1 u = [и —1 (10 7)
L ' OMJ' L ' OMJ [ '
Уравнения (10.7) можно записать в виде Лакса—Гейзенберга с параметром A5 входящем в это представление рациональным образом
L = [L, А],
L = AM+ и+ A2B, (10.8)
A = Ui — XI. 168
Глава 2
Кроме указанных выше интегралов движения, уравнения всегда обладают инволютивными интегралами
J2 = Тг(|м2 + Bu), J3 = Tr(M2u + Bu2), (10.9)
где Bij = (аіа2аз) 1Qi^ij, и поэтому система (10.4) на шестимерном симилектическом многообразии M6 является вполне интегрируемой по Лиувиллю, а динамика происходит по трехмерным торам, определяемым интегралами Jj = Ci (г = 1,2,3), квазипериодическим образом.
Формулы (10.8) могут быть получены из общей конструкции, связывающей бигамильтоново описание системы (10.7) и представление Лакса—Гейзенберга [20].
2. Картановское разложение и согласованные семейства скобок. Рассмотрим алгебру Ли G, представленную в виде картанов-ского разложения G = H + V, где H подалгебра и выполнены следующие соотношения
[Н, Hj С Я, [Я, V] С V, [V, V] с я.
В этом случае алгебра G допускает инволютивный автоморфизм в: G —> G, для которого в\н = id, o\v = ~ id (инволюция Картана). Алгебра G при этом называется симметрической, а пара (G, Я) ри-мановой симметрической парой.
Двойственное пространство G* может быть представлено в виде G* =H* + V*. так, что H*±.V, V*LH.
Рассмотрим еще одну алгебру Ли Ge, которая совпадает с G как линейное пространство, а коммутатор отличается только тем, что подпространство V коммутативно (коммутативный идеал): [V.V] = 0. Для [Н,Н] и [H.V] коммутатор остается прежним. Несложным вычислением можно доказать следующее [152]:
Предложение 6. Алгебры G и Ge образуют лиев пучок, а на двойственном пространстве G* возникают две согласованные скобки Пуассона {•,•} и {-,-!й-
Еще одна скобка {•,•}<*> описанная в § 5 гл. 1, связана со сдвигом аргумента
{/, gr}a(x) = (a, [df(x), dg(x)]). (10.10)
Если а Є V*, то в формуле (10.10), коммутаторы [•, •] и [•, •]„ можно взаимозамспять. § 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 169
Предложение 7. Если а Є V*, то скобки {-, ¦}, {•, -}а и {•, образуют семейство согласованных скобок Пуассона.
Пусть G полупростая алгебра Ли (или хотя бы алгебра Ли, на которой существует невырожденная ad-иіівариантная квадратичная форма, в этом случае ad = ad*). При этом разложение H+ V ортогонально. Оказывается, что в этом случае скобка {•, = ?*{•,•} + ?{'-'}e +
+ т{"; может быть представлена в следующем явном виде.
Действительно, для элемента х E G* = G, представимого в виде X = h + v. h Є Н* = Н, V Є V* = V и функции / на G* = G, дифференциал df может быть записан в виде df = ? + ц, где ? Є H, ц Є V. Явная формула для гамильтонова векторного поля, порождаемого функцией f и скобкой {•, -}a?-y имеет вид
{-,df}a? 7 = sfPaAa?-yf(x) =
= a ad?+T((/i + v) + ?{&de)l+v(h + 1))+7 ad|+T; a = (10.11) = a([tv] + [Lv} + [v,v] + [v,h}) +
+ ?{[iM + [?,«] + [jhv]) + +7(K,fl] + [4,0]) = = {(a+/№ft]+[rM;])+7fo,a]} + + {(<» +/?)[?,"] + a[r],h} +7^,0]}.
Две последние фигурные скобки отражают разложение по H и V. Справедливо следующее
Предложение 8. Если а + ? ф 0, то скобка Пуассона {•¦, }a?7 эквивалентна (сводится, линейной заменой) скобке {•,•} (которая является полупростой), и любая система, допускающая гамильтонову запись относительно семейства скобок {¦,¦ja?-y (и, стало быть, являющуюся бигамильтоновой), допускает представление Лакса—Гейзенберга с рациональным спектральным параметром.
