Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
'Ki= E + »?^??? +
i.j J i,j J
6?ci - 6?с,-
г,3
Последнее слагаемое в этой сумме не существенно, поскольку является функцией Казимира для каждой из скобок.
Предложение 4. Пусть гамильтониан H имеет вид (9.12). Тогда он порождает бигамильтонову систему, т. е. существует функция H такая, что справедливо тождество:
{.,-,Щг = {x,H}Q. (9.13)
При этом гамильтониан H может быть взят в виде
Ь{С~ - Ъ.;С:. , ^ Щсі - b2:Cj _ ^Ci - b3:Cj
l.J J t,j J l,j
Отмстим, что гамильтониан H определен неоднозначно. К нему всегда можно добавить произвольную функцию Казимира скобки {-,-!о. 164
Глава 2
Равенство (9.13) может быть интерпретировано как изоморфизм между системой Iia полупрямой сумме So(n) ®s м[™(п_1)/2] и системой на прямой сумме но(п) ® so(n). Однако, здесь обе скобки имеют не совсем стандартный вид, чтобы привести их к стандартной форме нужно произвести некоторые замены (которые были описаны выше). В результате можно получить следующий результат.
Предложение 5. Рассмотрим на пространстве G = so(n) ® so(n) со стандартной скобкой гамильтониан следующего вида:
Hg(X.Y) =Y, ^YbibjXfj + і >j 1 3
,2 j.2 (9'14) З-
' J ij
и на пространстве F = (sotn)®,:!^"-1)/2])* со стандартной скобкой Пуассона гамильтониан вида
HF(M,P) = Y biI bbjCj (Mij \(bi + b^Pij)2 + (9.15)
і,3 г 3
„ Ща - VjCj і / ^ ЩСІ - b]cj
+ 2 E -^r1 (Mij -Iibi + Ы)Рц)Рц + E
і J І,І
Тогда соответствующие этим гамильтонианом системы сводятся друг к другу при помощи следующей линейной замены переменных:
M = B112XB1I2 +\(BY + YB), P = Y.
Чтобы получить представление Лакса со спектральным параметром для гамильтонианов из описанного семейства, рассмотрим бига-мильтоново векторное поле
{.</;,#}! = {х,Н}0.
Оно, следуя разбраппому методу, может быть представлено как гамиль-tohobo векторное поле относительно линейной комбинации {-, -}о +
V = {Х,Н0+хе}О+ХЕ- (9.16) § 10. L — А-пары и бигаліильтоновость: картановское разложение 165
Гамильтониан при этом имеет следующий явный вид:
ECLi — (lj 0 ЬіСІі — bjuj — Щйі
^zI +2 E -I^t1 z^ + E -^r ^
ъ,} », І г,І
где щ = <'i,bi( 1 + Afc;)-1 и является естественным обобщением классического семейства Ляпунова Стеклова (§ 1).
Можно переписать уравнение (9.16) в форме L — А-пары, пользуясь соображениями, описанными выше (см. соотношения (9.9), (9.10), (9.11). В нашем случае L = ip*_1(Z,P). т. е.
/(E + \В)~1Z2(Z-X-1P) (Е + XB)-V2 0 \
" \ 0 X 1Pj
и
A = <p(dH0+x.i(Z,P)).
Замечание 2. Используя указанную конструкцию, несложно получить многомерное обобщение случая Рубановского, для которого в гамильтониане (9.15) появляются линейные слагаемые [235, 142].
Замечание 3. Изучение лиевых пучков является важным не только для нахождения новых интегрируемых случаев, но и для проблем классификации динамических характеристик системы. В главе 4 будет разобран лиев пучок, определяющий вихревую алгебру, которая несет важную информацию о взаимодействии точечных вихрей.
В следующем параграфе будет рассмотрена отличная от изложенной конструкция, связанная с использованием картановского разложения алгебр Ли и приводящая к представлению Лакса Гейзенберга с рациональным спектральным параметром.
§ 10. L — А-пары и бигамильтоновость: картановское разложение
1. Задача Бруна. Рассмотрим задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в силовом поле, потенциал которого является произвольной квадратичной формой относительно направляющих косинусов (а,/3,7). Эта проблема изучалась Ф. Вруном в прошлом столетии, но окончательные результаты получены совсем недавно [18], (см. 166
Глава 2
также [17, 139]). Оказалось, что двух дополнительных интегралов движения, найденных Вруном и недостаточных для интегрирования по теории последнего множителя, хватает для интегрирования по теореме Лиувилля, если воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения. В этой структуре два дополнительных интеграла находятся в инволюции). Хотя интегрируемость волчка в квадратичном потенциале (а также его n-мерные обобщения, пары взаимодействующих волчков и движение точки на однородных пространствах в потенциалах специального вида) была формально изучена в [139], наиболее законченное выражение они приобрели в работах Богоявленского [17, 18]. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи.
Рассмотрим сначала динамику симметричного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле. Гамильтониан системы в этом случае может быть представлен в виде
H = I(M2 + M2 + аМ2) - (aia32 + a2?32 + аз7з2), (10.1)
где щ, а Є К, причем компоненты направляющих косинусов на оси, связанной с телом системы координат, обозначены через (см. § 1). Из уравнений движения следует, что компонента M3 является интегралом движения. Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством Ki = (М, a), K2 = (М,/3), K3 = (М, 7), а также проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами (рі,р2,рз) = (аз,/?,73), образуют алгебру Ли е(3)
