Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
пары, которая была указана Кеттером еще в 1900 году (для классического случая на е(3)) [267].
Прежде сформулируем некоторые следствия предложения 2 для матричных алгебр.
Пусть L — матричная алгебра Ли со стандартным матричным коммутатором [•,•], на которой задана еще одна нестандартная структура алгебры Ли [•,•]>¦ Пусть ip: L —» L отображение, устанавливающее изоморфизм между [•, -]А и [•,•], т. е.
<p[X,Y]x = [<p{X)MY)].
Пусть L* — двойственное пространство. Рассмотрим уравнения Эйлера на L* с некоторым гамильтонианом Н\, отвечающие алгебре Ли[-,-]А:
X = {&&\)dHx(x)X-
Ясно, что эти уравнения с помощью линейной замены приводятся к уравнениям, отвечающим стандартному коммутатору. В частности, если L — полупроста, то к уравнениям в форме Лакса—Гейзенберга. Соответствующая замена имеет следующий вид:
X = if* (у), (9.9)
где tp* : L* —» L* — оператор, сопряженный ip. А именно, после такой замены уравнение приобретает вид
У = 'Л<Кін {у)Уі
причем новый гамильтониан Н: L* —» К связан со старым гамильтонианом Н\: L* —» К. естественным образом:
H(V)=Hx(^iy)).
Если алгебра L — полупроста, то мы получаем после замены уравнение вида
y=[y,dHiy)}. (9.10)
Укажем также связь между функциями Казимира / и /А скобок {•,•} и {-,-Ja соответственно:
hix) = Л<р*-\х)). (9.11) § 9. L — А-пары и бигамилъгпоновосгпъ: лиевы пучки 161
Это полезно для нахождения функций Казимира нестандартной скобки.
Рассмотрим теперь лиев пучок па прямой сумме пространств косо-симметрических матриц L = so(n) + .чо(п). Элементы этого пространства будем записывать в виде пары (X, У), X Є so(n), Y Є so(n). Пара коммутаторов, порождающих пучок имеет вид:
[(Хі,У),(Х2,У2)]0 = ([XbX2], [X1, У2] + [у,X2] - [ХЬХ2]В),
[(XuY1),(X2,Y2)]! = ([Хі,Х2]л,[УьУ2]).
Здесь через [•, -]в обозначен коммутатор вида [Xi,X2]^ = XiIJX2--X2BXі, где В — симметричная матрица. В пашем случае мы считаем ее диагональной.
Несложно проверить, что данные коммутаторы согласованы, т. е. любая их линейная комбинация удовлетворяет тождеству Якоби и задаст, следовательно, па пространстве so(n) + so(n) структуру алгебры Ли.
С помощью явной проверки устанавливается изоморфизм алгебр Ли из рассматриваемого пучка [•, -]о+л-і = ['і -]о + A[-, -]i.
Лемма 1. Если А / 0 a det(F + А В) ф 0, то алгебра Ли [•, -]о+л-і изоморфна so(n) + so(n) со стандартным матричным коммутатором. При этом изоморфизм ^p задается следующими явными формулами:
<p{X,Y) = ((E + XB)1/2 Х(Е + XB)1'2 ,XY + X).
Из этого утверждения легко вытекает вид инвариантов коприсоединенного представления на L*. Как обычно можно отождествить L = = so(n) + но(п) и L* = (so(n) + so(n))* при помощи скалярного произведения <(Х,У), (Z,P)) = Tr(XZ + YP). Операторы (р*: L* ^ L* и ір*~г: L* —»• L* имеют тогда следующий вид
V*(Z,P) = ((E + XB)1'2Z(E+ XB)1'2 + Р, XP), iP*-1(Z,P) = {(Е + ХВ)~1'2(Z - X-1P(Е + XB)-1'2,X-1P).
Инварианты прямой суммы L = so(n) + so(n) при стандартном представлении хорошо известны. Это функции вида
Tr Z2k, TvP2k. 162 Глава 2
Используя (9.11) и явный вид оператора у*-1 получаем явный вид функций Казимира скобки {•,-}о-і-л і:
Tt((Z-A-1P)CE^AB)-1)2*, TrP2*.
При A = O эта формула не определена. Чтобы получить приемли-мую асимптотику в пуле нужно вместо первого инварианта рассмотреть следующий:
і (Tr((AZ -Р)(Е + AS)"1)2* - TrP2A) =
= і ^Tr((AZ — p)(e — xb + x2b2 + x3b3 — ... ))2k — TVP2fc^ .
Полученное выражение является степенным рядом по А, причем первый (свободный) член этого ряда имеет вид
Tr(Z-FPS)P2fc"1.
и является функцией Казимира скобки {-,-jo- Вместе с функциями вида TrP2ft они образуют полный инволютивный набор.
Оказывается, что структура алгебры Ли с коммутатором [•, -]0 изоморфна полупрямой сумме алгебры so(n) и коммутативного идеала К['"(и_1)/21 по присоединенному представлению. Стандартный коммутатор для этой полупрямой суммы задается на пространстве l естественным способом:
[(XuY1), (X2, Y2)Y = ([Xi, X2], [XbF2] + [YuX2]).
Изоморфизм между этим стандартным коммутатором и «деформированным» [•, -]о определяется отображением
^(X,Y) = (X,Y -\(ВХ + XB)), удовлетворяющим соотношениям
^[(X1, Y1), (X2, Y2)]о = ^(XuY1), ф(Х2, Y2)]-. Сопряженный оператор имеет вид
ip*(z,p) = (z - Ьвр + рв),р). § 9. L — А-пары и бигамилъгпоновосгпъ: лиевы пучки 163
Таким образом, уравнения Эйлера в смысле скобки {•, -}0 приводятся к стандартным уравнениям в смысле скобки, отвечающей полупрямой сумме при помощи замены вида (Z,P) —> (М,Р).
Z = M- ±(ВР + PB), P = P.
5. Многомерные обобщения системы Ляпунова—Стеклова.
Опишем теперь семейство гамильтонианов, порождающих системы, являющиеся гамильтоновыми относительно каждой скобки из нашего семейства. Легко видеть, что такому свойству удовлетворяют функции Казимира скобок {-,-jo + A{-,-}i максимального ранга. Так как для уравнений Кирхгофа гамильтониан является квадратичным, то рассмотрим семейство функций, являющихся линейными комбинациями, указанных выше квадратичных функций Казимира. Можно проверить, что функции из этого семейства имеют следующий общий вид:
