Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 53

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 144 >> Следующая


X = E0OX - XOE0, (9.4)

где X Є L, О = O(X) ? L — дифференциал квадратичного гамильтониана Я (X) = і Tr XO.

А. М. Переломов в [135] обнаружил интегрируемый случай этих уравнений, являющийся многомерным обобщением случая Клебша. Гамильтониан Я(х) в этом случае имеет вид

я(х) = \ Y ,1!г'Ъ + \ Y ь*х?»> (9-5)

где X = (хц) и коэффициенты удовлетворяют соотношениям

(bi - bj)07.1 + (bj - bk)aTh1 + [Ьк - bija-1 = о

для любых 1 ^ г < j < к SC п — 1.

Произведя несложные вычисления, можно установить [19], что уравнения многомерного случая Клебша гамильтоновы на пространстве L Ri L* относительно каждой из скобок пучка {-,-!аї А Є J'\0, где § 9. L — А-пары и бигамилъгпоновосгпъ: лиевы пучки

157

J' = {AD + //Eo} и элементы di диагональной матрицы D определяются из соотношений

di-dj = (hi - bjja'1, I <] -Cv, - 1.

Полнота интегралов также следует из теоремы 4 § 5 гл. 1.

Можно заметить, что лиевы пучки ([•,-Jaej) и ([-,-JAej') изоморфны при В = E0D-1. Отсюда сразу вытекает обобщение результата А.И.Бобенко для п = 4 [13], установленное А. В. Болсиновым [19]. Теорема. Существует линейная замена переменных, переводящая уравнения Эйлера динамики n-мерного твердого тела в уравнения (п — \)-мерного случая Клебша.

3. Система Жуковского—Вольтерра. Указанная конструкция допускает некоторые модификации. Рассмотрим на Ж3 скобку Пуассона вида

{Mi, Mj) = -EijkCkMk,

(9.6)

при Cj > 0 изоморфную алгебре so(3). Уравнения Гамильтона со структурой (9.6) могут быть представлены в виде L = [L, А] с матрицами

L = -A3M3

А =

A3M3 -A2M2^ A1M1

V A2 оМ.

1 дН A1 OM1

0

1 дН \ A2 DM2

1 д H A1 OM1

(9.7)

где А,; =

s/Wh

При выборе функции Гамильтона в виде H = l(AM.M) — (g,M),

где А = diag(ai,a2,a3), g = {gi,g2,gз), a-hgj Є Ж и структуры (9.6) при Сі = 1 получим классическую интегрируемую систему Жуковского Вольтерра, описывающую инерционное движение уравновешенного ги- 158

Глава 2

ростата [63, 333]. По теореме 4 §5 гл. 1 ее можно записать па одпопа-раметрическом пучке пуассоновых структур

Jl3{s) = -?ijk(sMk + (акМк - gk)) = -?ijk(s + ак)Мк + eijkgk (9.8) с соответствующим семейством интегралов

H(S) = (sH - H1), H1 = ±(М,М).

1 + Sz *

При помощи сдвига M —> M + gkjck, ск н->- ак + s скобка (9.6) приводится к виду (9.8). а соответствующая L — А-пара (9.7) имеет форму

( M3 - g3/(s + а3) M2- g2/(s + a2) \

v/(s + Oi)(s + а2) \/(s + ai)(s + a3) M3 - g3/(s + a3) M1- gl/(s + (I1)

Vis + ai)(s + a2) Vis + аз)(S + a2)

M2-g2/(s + a2) M1 -g1/(s + a1) V Vis + + «з) y/(s + a3)(s + a2)

О

О -а3 а2

і + ям аз 0 ~ai

1 +s \ -O2 Oi О

где

CL1 = y/(s + a2)(s + a3)((sai - 1)Мг - Sg1), а2 = + U1) (s + u3)((sa2 - 1 )M2 - Sg2), Яз = \/(.S + «i)(« + «г)((яаз - I)M3 - Sg3).

Замечание 1. Несколько другое представление Лакса—Гейзенберга было дано в [155]. Его можно получить из только что рассмотренного при помощи преобразования

L -»¦ \/(s + ai)(s + a2)(s + a3)L, A-S-A- .s(.s + Oi)(.s +a2)(s +a3)L,

не меняющего формы уравнений L = [L, А]. § 9. L — А-пары и бигамилъгпоновосгпъ: лиевы пучки

159

Как показано в [241. 309], представление уравнений движения в форме Лакса—Гейзенберга влечет за собой не только полную интегрируемость (которая также может быть установлена из соображений би-гамильтоповости, § 5 гл. 1), по и принципиальную возможность (без явного указания разделяющихся переменных, линеаризующих систему) выразить решения в тэта-функциях. Они определены на многообразии Якоби Jac(C) алгебраической спектральной кривой С

С = {Р(А, At) = det(L(A) -рЕ) = 0}

или па некотором абелевом его подмногообразии — многообразии Прима Prym(C) С Jac(C).

Как показано в [246], при рациональном вхождении спектрального параметра в L — А-пару возможно, что через тэта-функции, ассоции-рованые со спектральной кривой С однозначно выражаются квадраты фазовых переменных, но не сами эти переменные. Такая ситуация имеет место для системы Мапакова [115] и случая Переломова [135].

Как правило, при гиперэллиптическом представлении фазовые переменные однозначно выражаются через тэта-функции. Кроме того, для систем типа Жуковского—Вольтерра, представления Лакса— Гейзенберга с рациональным спектральным параметром до сих пор не обнаружено и, видимо, не существует. Многомерные интегрируемые обобщения этих уравнений также не найдены и в общем случае (уже для ,s'o(4), см. §7 гл. 3) п-мерный свободный гиростат обладает неинтегри-руемой динамикой.

4. Обобщение. Нестандартный матричный коммутатор.

Здесь мы приведем еще один пример, связанный с многомерным обобщением интегрируемого случая Ляпунова—Стеклова [20]. Используемая при этом конструкция обобщает изложенную выше и связана с приводимыми лиевыми пучками. Классификация таких пучков, в отличие от неприводимых, рассмотренных в [70], в литературе, видимо, отсутствует. Как будет показано далее, каждый такой пучок на полупростой алгебре Ли определяет семейство интегрируемых систем и сответствующих им представлений Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром. Многомерное обобщение случая Ляпунова—Стеклова было впервые получено в [22] без использования обсуждаемой конструкции, что не позволило заметить изоморфизм интегрируемых случаев на различных алгебрах и выяснить действительное происхождение L-A- 160 Глава 2
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed