Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
где Н\ — гамильтониан, отвечающий скобке {-. Тогда для v существует представление Лакса Гейзенберга с параметром X (зависимость от которого может оказаться не рациональной, а более сложной).
Доказательство.
Если система v гамильтопова относительно скобки Ли—Пуассона, отвечающей полупростой алгебре Ли, то отождествляя двойственное пространство алгебры с самой алгеброй, мы получаем в точности представление Лакса—Гейзенберга для v (без параметра). Поскольку в рассматриваемом случае мы имеем дело с семейством {•, -}д полупростых скобок, то в результате отождествления (которое зависит от Л) мы получим семейство представлений Лакса Гейзенберга, зависящее от Л, что и требовалось. ¦
1. Многомерное обобщение волчка Эйлера. Продемонстрируем доказанное утверждение на примере многомерного волчка Эйлера. Рассмотрим пространство кососимметрических матриц L, отождествляемое с алгеброй Ли so(n). Вводя естественное инвариантное скалярное произведение (X,Y) = — Ti-XY, мы отождествим L с L*. Далее рассмотрим па L семейство алгебр Ли — лиев пучок, коммутаторы которых задаются так (см. §5 гл. 1)
[X, Y]c = XCY - YCX, 154
Глава 2
где С — произвольная симметрическая матрица. На двойственном пространстве L* = L эти алгебры порождают семейство скобок Ли—Пуассона {-,-!с. Гамильтоновость системы v относительно скобки {v}c означает, что
v(X) = XdH(X)C - CdH(X)X
для некоторой гладкой функции H(X): L —» К.
Отметим, что
1) все эти скобки согласованы между собой,
2) скобка {•, -}с полупроста тогда и только тогда, когда матрица С невырождена.
Из второго свойства, в частности, следует, что в случае невырожденной матрицы С, выписанное выше уравнение может быть представлено в форме Лакса Гейзенберга (т. е. в виде обычного коммутатора). Для этого нужно сделать следующую замену:
XC1/2LC1/2, dH(X) С~1/2АС~1/2.
Подставляя, мы получим C1Z2LC1/2 = C1^LA - AL)C1/2, или, что то же самое, L = [L, А].
Рассмотрим теперь уравнения Эйлера движения многомерного твердого тела. Одно из представлений Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром в этом случае хорошо известно (С.В.Мана-ков [115]). Укажем еще одно представление, связанное с описанным выше семейством скобок.
Пусть В = diag(bi,... ,bn), E = diag(l,l,... ,1) диагональные невырожденные матрицы. На пространстве L рассмотрим двумерный пу-чок (K-U)AeJ, J = {AE+ //В2}.
Уравнения Эйлера динамики n-мерного твердого тела, которые следует представить себе заданными па пространстве L* кососимметри-ческих матриц, отождествленным с L при помощи формы TrXY, имеют вид [152, 156, 157]:
X = Xfi - fix,
(9.1)
X = Bfi + fiB, Х,П Є I.
Несложно показать непосредственными вычислениями, что уравнения (9.1) гамильтоновы относительно каждой из скобок пучка {•, -}а, где А Є J\{0} [19]. § 9. L — А-пары и бигамилъгпоновосгпъ: лиевы пучки
155
Используя это обстоятельство, и тот факт, что эта скобка полупроста почти для всех А, мы можем переписать уравнения для каждой алгебры Ли [•, -]в2+ае в форме Лакса—Гейзенберга. Приведем конечный результат.
Предложение 3. Система уравнений (9.1) может быть записана в следующем эквивалентном виде
^ = [L(A)5A(A)], (9.2)
где
L(A) = (В2 + АЕ)"1/2Х(В2 + АЕ)"1/2, (9.3)
A(A) = (В2 + АЕ)"1/2(АО - ВОВ)(В2 + АЕ)"1/2.
Доказательство.
Эквивалентность этого представления системе (9.1) легко проверяется прямым вычислением. Здесь, впрочем, интересна связь представления с семейством скобок. Остановимся на ней более подробно. Поскольку система (9.1) гамильтонова относительно скобки {•, -}в2+ЛЕ! то мы можем представить X в виде
X = ХйЯА(Х)(B2 + AE) - (В2 + АЕ)йЯА(Х)Х).
Несложно проверить, что здесь
(1Нх{Х) = (В2 + AE)-1 (АО - ВОВ)(В2 + AE)"1.
Чтобы теперь из этого выражения получить представление с обычным коммутатором нужно сделать замену, которая уже была указана выше:
X = (В2 + AE)1/2L(A)(B2 + АЕ)1/2, (IHxX = (В2 + АЕ)"1/2А(А)(В2 + АЕ)"1/2,
что сразу приводит нас к доказываемому результату. ¦
Представления Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром, входящим в матрицы LhAb виде (9.3), называются гиперэллиптическими. Они изучаются в книге [235] (см. также [155]). Отметим также, 156
Глава 2
что представление Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром, входящим в (9.2) нерациональным образом, было использовано в неявном виде Кеттером (F. Kotter) при интегрировании случая Ляпунова— Стеклова в уравнениях Кирхгофа [267].
2. Многомерное обобщение случая Клебша. Другой содержательный пример связан с рассмотрением на пространстве кососиммет-рических матриц еще одного двумерного лиева пучка ([•, -]а)ає.7'- П°~ ложим
D =diag(di,... ,(In-i,l) E0 = diag(l,l,... ,1,0), J' = {AEo + mD}.
Алгебра Ли Le0- задаваемая на пространстве кососимметрических матриц коммутатором [•, изоморфна алгебре Ли е(п — 1) группы движений евклидова пространства. Поэтому уравнения Эйлера на L* в смысле скобки {•, -}е0 с положительно определенным квадратичным гамильтонианом являются уравнениями Кирхгофа и описывают движение многомерного твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой жидкости. Если пространство L* отождествлено с L при помощи формы TrXY, то эти уравнения могут быть записаны в виде
