Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Для их получения будем последовательно разрешать системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые возникают из следующих четырех наборов коммутационных соотношений.
1. |І,А0} = ІА3, IL1A1) = -ІА2, {L, А2} = ^Ai, {і, A3}=—^AO,
2. {і?, Ао} = ^A3, {Н, Аі} = ^A2, {Н, A2I = -^Ai, {Н, A3) =-^A0,
о г і \ і Ai cos Z — A2 sin/ г; \ і A3 cos/ +Ao sin Z
о. {(.Ao| — -. =—, {/,Alf —--:—,
2 VG2-L2 2 VG2-L2
г! \ і _ Ao sin / — A3 cos / г, . і _ Ai sin / + A2 cos I
\і:Л2( — -, =—, — --=—,
2VG2 - L2 2VG2 - L2
4. {G,A0} = ^^(Аі sin/+ A2CosO+2ІА3,
і/Г*2 — Г2 г
{G, Ai} = 2G (-A0 sin/+ A3 cos0 - ^A2,
Jqi —1,2 г {G, A2} =---cos/ +A3 sin/) + ^Ab
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
{G, A3} = 2Q 1 (A2 sin I - Ai cos/) - § 8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные 151
Используя также полученные ранее выражения для вектора 7: 7i = 2(ЛіЛ3 — A0A2), 72 = 2(AuAi +A2A3). 73 = X20-X21-X22 +X23 через канонические переменные (8.6) и условие нормировки Aq + A2 + A2 + A3 — 1, придем к следующим соотношениям:
A0 = ^Wsin(g/2) sin(y+) соэ(ж_) + sin(g/2) cos(y+) соэ(ж_) +
v2
+ cos(g/2) sin(y+) sm(a;+) - cos(g/2) cos(y+) ніп(ж+)),
Ai = -^(sin(g/2) cos(-(/_) sin(:/;_) - sin(g/2) siii(y_) sin(x-_) -
V 2
— cos(g/2) sin(?/_) cos(a;+) — cos(g'/2) cos(y_) cos(a+)),
(8.11)
A2 =-W— sin(g-/2) siii(y_) sin(x-_) - sin(g-/2) cos(y_) sin(x_) +
V 2
+ cos(g/2) sin(j/_) cos(®+) — cos(g/2) cos(j/_) cos(®+)),
A3 =-^-(sm(g/2) sin(t/+) соэ(ж_) — sm(g-/2) cos(j/+) cos(x-) —
V2
— cos(g/2) sin(y+) sin(®+) — cos(g/2) cos(y+) sin(a;+)).
В формулах (8.11) введены углы ?, т (см. далее рис. 4)
C = aresin H/G, т = arcsin i/G (8.12)
и комбинации:
х+ = 1(С + т), = I(C-T), y+ = \{l + h), у- = 1(/ - h).
Если действовать формально, то с помощью предложенного алгоритма можно ввести канонические переменные, не интересуясь их механическим смыслом. Однако, переменные Апдуайе—Депри, возникающие из приведенных рассуждений, имеют естественное динамическое происхождение. Оно иллюстрируется на рис. 4.
Здесь через OXYZ обозначен неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, Oxyz — жестко связанная с телом система координат, S — плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента волчка М. В принятых обозначениях: 152
Глава 2
L — проекция кинетического момента на подвижную ось Oz:
G величина кинетического момента:
H его проекция на неподвижную ось OZ;
I — угол между осью Ox и линией пересечения S с плоскостями Oxy и OXY;
g — угол между линиями пересечения S с плоскостями Oxy и OXY:
h — угол между осью Ox и линией пересечения S с плоскостью Рис. 4 OXY.
Отметим, что система переменных Андуайе—Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако, они очень удобны для применения метода теории возмущений, т. к. связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа переменные GnL соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих элементов, не обязательно являющихся каноническими, использовались еще в прошлом веке Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий вращательного движения планет в небесной механике. Их независимое введение в этом веке А. Депри позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [77] (где называются специальными каноническими переменными) и для численных исследований [28].
Формулы (8.11) могут быть использованы при применении методов теории возмущений для изучения задачи о движении твердого тела в суперпозиции потенциальных силовых полей (см. §§3,4).
9. L — А-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки
В следующих двух параграфах мы рассмотрим ряд систем, обобщающих классические интегрируемые случаи динамики твердого тела, § 9. L — А-пары и бигамилъгпоновосгпъ: лиевы пучки
153
для которых решение вопроса о связи бигамильтоновости с представлением Лакса—Гейзенберга можно практически довести до конца (см. § 5 гл. 1). Изучаемые конструкции являются не только методом доказательства интегрируемости этих систем, но и способом их построения.
Как заметили первый автор и А.В.Болсинов [20], для бигамиль-тоновых систем на алгебрах Ли в ряде случаев имеется естественный способ построения представления Лакса—Гейзенберга со спектральным параметром. Справедливо, например, следующее утверждение. Предложение 2. Пусть {•, — семейство скобок Пуассона на векторном линейном пространстве. Пусть почти все эти скобки Пуассона отвечают полупростым алгебрам JIu (т. е. являются скобками Ли—Пуассона для полупростых алгебр Ли). Предположим, что система X = v(x) является гамильтоновой относительно всех скобок из этого семейства, т. е. допускает представление в виде
v(x) = {х,Яа(х)}а,
