Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
? Jl-Ujq) , L = ---(ш, I (Qf) ш),
где
w = 2 (qoq- g0q- q x q), I (q) = A'1 (q).
Интегрируемые геодезические потоки на S3. обладающие двумя инволютивными нелинейными по импульсам дополнительными интегралами, могут быть получены из интегрируемых случаев динамики твердого тела в суперпозиции линейных силовых полей (§§3,4). Один из них — обобщенный случай Ковалевской, второй — шаровой волчок в произвольном линейном по а, ?, 7 потепцииале (сводящийся к задаче Неймана на S3). Кроме исключительных ситуаций (см. §5), в которых один из дополнительных интегралов сводится к линейному по моментам, эти случаи не могут быть редуцированы к двум степеням свободы, а слоение на трехмерные торы приведено к двумерному. К сожалению, теория перестроек трехмерных многообразий почти совсем не развита (в отличие от двумерного случая [152, 156]), поэтому вопросы, связаннные с топологическим анализом указанных задач остаются пока открытыми.
Замечание 3. Отметим, что интегрируемые геодезические потоки на трехмерной сфере можно получать используя также интегрируемые геодезические потоки на группе SO(4) (в частном случае см. [37].) Действительно, если функция Гамильтона в уравнениях движения не зависит от координат (Н = H(n. L)), то отделяется система па подалгебре .so(4) С ^(4), и поэтому всегда существует первый интеграл Fi = 7г2 + L2 (функция Казимира алгебры яо(4)). Для интегрируемости по Лиувиллю—Арнольду на сингулярной орбите необходимо существование еще одного дополнительного интеграла. В случае алгебры so(4) для квадратичных по 7г, L гамильтонианов вопрос о наличии дополнительного интеграла решен в работах Стеклова, Манакова, Адлера и ван Мербеке [115, 177, 321]. В частности, в случае Адлера и ван Mep-беке [177] дополнительный интеграл имеет четвертую степень по импульсам, что приводит к геодезическому потоку на S3 с интегралами второй и четвертой степени. 148
Глава 2
§ 8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные
В этом параграфе мы опишем один из способов введения канонических переменных в динамике твердого тела. Этот способ существенно использует структуру скобки Ли—Пуассона, на которой задана га-мильтонова система. Он связан с выделением в первоначальной алгебре замкнутой подалгебры, введением для нее канонических координат, а затем построением расширенного канонического набора, определяющего симплектические координаты на всей алгебре. Более подробно, алгоритм симплектизации изложен в приложении H (см. также § 6 гл. 4) на примере задачи трех тел. В динамике твердого тела этот метод приводит к хорошо известным переменным Андуайе—Депри. Классическая процедура их введения, не являющаяся вполне очевидной, приведена в книге [5]. Эти канонические переменные также (в силу особенностей процедуры их введения) определяют симплектические координаты на симплектических листах соответствующих скобок Ли—Пуассона (§ 1 гл. 1).
Сначала для простоты рассмотрим случай введения канонических переменных для алгебры е(3), а затем рассмотрим более сложную ситуацию, определяемую коммутационными соотношениями (2.7).
В подалгебре вращений so(3) алгебры е(3) выберем канонические переменные I, L
M1 = Vg2 - L2 sin I, M2 = Vg2 - L2 cosl, M3 = L, (8-І)
представляющие собой цилиндрические координаты на двумерной сфере — симплектическом листе скобки Пуассона, определенной алгеброй ,so(3).
Величина кинетического момента G = Jm2 + м2 + м2 является функцией Казимира рассматриваемой подалгебры и может быть принята за новую каноническую координату типа «действие». Сопряженная ей угловая переменная g вводится следующим образом. § 8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные 149 Скобки Пуассона между переменными L,l,G, 71,72,73 следующие:
{l,L} = 1, {G,L} = {G,l}=0, І7ь 7j} = 0, {Z,7i} = -72, {?-72) = 71, {^,7з} = 0,
sin /73
(8.2)
{',72} = -
VG2 - L2
cos Z 73
(8.3)
{*,7з} =
^G2 - і2
H-Llz G2-L2''
{G,7i} = ^(V7G2-Z2 cosI13-L12), {С,72І = ^(L7I - VG2-L2SinZ73),
Ct
{С,7з} = і VG2-L2 (sin Z72-CosZ7I).
Ct
(8.4)
(8.5)
В (8.4) H обозначает проекцию кинетического момента на неподвижную ось. При этом H = (Mj1) является функцией Казимира (ко)алгебры е(3) и интегралом движения.
Разрешим последовательно системы дифференциальных уравнений в частных производных (8.3) (8.5), предполагая 7і функциями (I, L, g,G, Н) и учитывая коммутационные соотношения
{G,g} = 1, {L,g} = 0, {l,g} = 0. В результате получаем хорошо известные формулы (см. [5, 28]):
71= (fV1- (І)* +W1- (f)2cos^sinZ + y/l- (I)2Sing-COSZ,
72 = (IxAtW+ §\A-(I)W) — (I)2 sing'sinZ,
73 = (I) (§) - V1-(^2V1-(I)2 cos^
(8.6) 150
Глава 2
Каноническими переменными па четырехмерном симплектичес-ком листе скобки Пуассона алгебры е(3) являются (L,l.G.g). Переменная H «нумерует» симплектические листы, гомеоморфные кокасатель-ному расслоению к двумерной сфере.
Получим теперь канонические координаты для шестимерного сим-плектического листа скобки Пуассона, гомеоморфного кокасательному расслоению к трехмерной сфере T*S3, определенной семимерной алгеброй Ли 1(7) = so(3) Ж4. Для этого используем уже построенный набор (L, G, /, g). Примем в качестве новой переменной «действие» H и введем сопряженную ей каноническую переменную h. Найдем выражения через переменные L, G, Н, /, g, h параметров Родрига— Гамильтона Ao, Ai, A2, A3.
