Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим также, что до работ С. Ли некоторые важные примеры скобки Ли Пуассона были известны еще Якоби. В его примерах скобка Пуассона возникала па пространстве первых интегралов уравнений Гамильтона.
Рассмотрим более общую ситуацию. Лагранжевы уравнения динамики с использованием вместо обобщенных скоростей «определяющих параметров» были записаны А.Пуанкаре [307]. В дальнейшем Н. Г. Четаев показал [164], что этим уравнениям можно придать га-мильтонов вид, если некоторым образом изменить вид канонической скобки Пуассона (1). Эта скобка для многих классических систем имеет особо замечательный вид (например, для уравнений Эйлера— 12
Введение
Пуассона, § 1 гл. 1) и естественным образом вкладывается в теорию Ли. Отметим, что связь своих уравнений с теорией групп и алгебр Ли прекрасно осознавал сам А. Пуанкаре, рассматривая задачу о движении твердого тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение [308]. Тем не менее, свойство гамильтоновости уравнений Эйлера— Пуассона и уравнений Кирхгофа, являющееся очевидным следствием записи уравнений движения твердого тела в форме Пуанкаре—Четаева, обычно связывают с работой [129].
Основное отличие нашей книги от традиционных учебников по классической механике состоит в систематическом изучении именно вырожденных пуассоновых структур. Наряду с общими теоремами (которые, как правило, приводятся без доказательств, но со ссылками, где их можно найти), мы рассматриваем новые примеры из различных областей классической механики, физики и математической биологии, в которых такого типа пуассоновы структуры возникают естественным образом.
Как заметил еще С. Ли [278], с локальной точки зрения, вырожденные пуассоновы многообразия (многообразия со скобкой Пуассона) мало чем отличаются от обычного невырожденного (симплектического) случая. Он доказал общую теорему Дарбу для этой ситуации и показал, что при этом пуассоново многообразие расслаивается на симплектичес-кие подмногообразия (листы), на которых естественно ограничивается любая гамильтонова система. Это ограничение (локально!) возвращает нас к классической гамильтоновой механике, теории симплектических многообразий и внешних дифференциальных форм.
Однако из этого вовсе не следует, что вырожденные пуассоновы структуры не имеют собственного теоретического интереса. Как правило, во многих задачах предпочтительней оставаться па самом объемлющем многообразии. Это особенно естественно для систем, зависящих от параметров. Вопросы, связанные с их интегрируемостью и исследованием частных решений, глобальным (топологическим) анализом решений, существенно проще ставятся и решаются именно при записи гамильтоновых уравнений движения с вырожденной скобкой Пуассона. При этом сами уравнения движения, в отличие от канонической формы записи, во многих представляющих интерес случаях получаются полиномиальными и даже однородными.
Для анализа интегрируемости таких систем могут быть применены хорошо разработанные алгебраические и аналитические методы ис- Введение
13
следования, восходящие к П. Пенлеве, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунову, основанные на изучении поведения общего решения системы дифференциальных уравнений на комплексной плоскости времени. В книге мы приводим ряд новых результатов, отражающих специфику применения методов Ковалевской—Ляпунова для квазиоднородных систем дифференциальных уравнений, обладающих пуассоновой структурой, а также используем их для исследования интегрируемости различных задач.
Алгебраический подход наиболее наглядно иллюстрируется на примере вихревой динамики (гл. 4), которая, начиная с Кирхгофа и Пуанкаре изучается в каноническом гамильтоновом представлении. Запись уравнений движения в новых образующих, условия коммутации которых определяют некоторую алгебру Ли, позволяет разделить исследование на две состовляющие. При этом часть информации, связанная с топологическими свойствами системы, оказывается заключенной в скобке Пуассона, которая также зависит от параметров системы (ин-тенсивностей вихрей), а другая определяется свойствами гамильтониана, задающего динамические системы па симплектических листах, фиксированных интегралом момента.
Остановимся, вкратце, на общей структуре книги.
В первой главе обсуждаются механизмы возникновения пуассо-повых структур в динамике (ограничение па симплектический лист, понижение ранга структуры при помощи симметрий, редукция Дирака, уравнения Пуанкаре—Четаева), а также вопросы интегрируемости соответствующих уравнений Гамильтона (алгебра интегралов, представление Лакса—Гейзенберга, бигамильтоновы системы). Подробно изложены вопросы редукции гамильтоновых систем на алгебраическом уровне, и связанной с ней процедурой понижения порядка. В § 9 мы отдельно рассмотрели редукцию и скобку Дирака, так как в большинстве современных изложений к этому вопросу подходят либо со слишком формальной точкой зрения, либо ограничиваются наивным физическим уровнем.
В главе 2 рассмотрена новая кватернионнал форма уравнений в динамике твердого тела, а также некоторые системы, получающиеся из них с помощью понижения ранга пуассоновой структуры с учетом симметрийных законов сохранения. При этом понижение порядка производится в алгебраической форме, что дает большие преимущества при анализе. На примере кватернионных уравнений в § 4 произведен анализ интегрируемости методом Ковалевской и получено обобщение 14
