Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Я = і (M2 + Ml + аМ2) + U (7з). (6.20)
Система (6.20) допускает два инволютивных интеграла F1=M3, F2 = (М,7). jj 6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
139
Это позволяет записать уравнения движения на алгебре, составленной из совместных интегралов потоков, порожденных интегралами Fi, F2:
Ml7l + M272 M271 - Ml72 Pl = -, , Р2 = --, Рз = M3,
Vli + T22 Vli + 1І
Oi = \jll+lh <?2 = 7з-Коммутационные соотношения для них имеют вид
{/>2,Ы = -РЗ +Pl(T2/(Tl, {Р2,Рз} = {Р1,Ръ} = О,
{Р2, (Tl} = -(J2, {р2,(Т2} = (Tl, (6.21)
{pi,(?l} = {^1, CT2} = {Рз,аі} = {Рз,(т2} = о. Функции Казимира алгебры (6.21):
Fi = (T1 + (T2 = 1, F2 = piai +рз<т2, F3 = р3.
Ранг скобки (6.21) равен двум.
Если положить р3 = 0 (то есть зафиксировать однопараметричес-koc семейство симплсктичсских листов), то величины Pi, р2, (Tl, CT2 образуют четырехмерную подалгебру, изоморфную (6.18). При этом гамильтониан (6.20) совпадает с (6.19).
Это означает, что систему Леггетта без магнитного поля можно рассматривать как частный случай «обобщенного» волчка Лагранжа на пулевой константе интеграла Лагранжа M3 = р3 = 0. Замечание 10. При ином выборе образующих в алгебрах (6.18) получаются однородные квадратичные алгебры ранга два.
Замечание 11. Можно также установить аналогию волчка Лагранжа с системой Леггетта. пользуясь образующими вида
si = Mi + М|, S2 = 7з* S3 = {si, s2}
и
Si = Mf + М\ + M32, S2 = A0, S3 = {si, S2) соответственно. При этом получается неоднородная квадратичная алгебра Якоби [55].
Замечание 12. В рассмотренном приведенном фазовом пространстве волчок Лагранжа и интегрируемая система Леггетта являются тригамильтоновыми системами в силу теоремы 4 §5 гл. 1. 140
Глава 2
7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на
1. Метрики на двумерной сфере S2. Динамическая система на орбите (М,7) = 0 алгебры е(3) с квадратичным по импульсам гамильтонианом порождает геодезический поток на двумерной сфере S2. Таким образом, интегрируемые геодезические потоки на S2 могут быть получены из интегрируемых задач динамики твердого тела. Этот факт можно установить при помощи следующей конструкции (см. также [17, 21]).
Рассмотрим двумерную сферу, стандартно вложенную в M3: q2 + + (І2 + (1з = 1- Метрика в E3 du2 = Bijdqjdqj порождает геодезический поток на сфере S2, который в избыточных переменных % задается функцией Лагранжа
и связью q2 = 1.
Переходя к гамильтонову формализму со связями в избыточных переменных [4], находим функцию Гамильтона (р Є l4.q Є I4)
сфере
L = і (q,B (q) q)
(7.1)
! (P1B-1P) (q,B-1q) - (p.B^q)
2 M-iq)
2
H =
(7.2)
Аналогично, функция Лагранжа вида
(7.3)
и связь q2 = 1 приводят к функции Гамильтона
(7.4)
Рассмотрим отображение T*R3 —> е(3), заданное формулами
7 = q, M = q X р.
(7.5) § 7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере 141
Оно переводит S2 X K3 в орбиту е(3): 72 = 1, (М, 7) = 0, а канонические коммутационные соотношения (?.?} = Sij в коммутационные соотношения алгебры е(3):
{Mi, Mj} = SijkMk, {Mi, ъ) = SijWyk, {7,:, Ъ} = 0.
Гамильтонова система на е(3) с гамильтонианом
H = 1(М,А(7)М), (7.6)
с помощью отображения (7.5) переносится на Т*К3, где функция Гамильтона имеет вид (7.2). Коэффициенты матриц А и В связаны соотношениями
AkiskimSijn = B^ Bmn — BimBjn ,
которые означают, что матрица А составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы В-1. Следовательно
В = -Л-гА или B1 = (let, AA"1. (let, А
Подставив это выражение в (7.3), получим
A(q) ^ (7.7)
2 у ' (q,A-1q) dct А
т. е. квадратичная форма на е(3) (7.3) порождает геодезический поток на S2, описываемый функцией Лагранжа (7.7) со связью q2 = 1. Если гамильтониан имеет вид
H = I(M,A(7)M) + <7(7), (7.8)
то, воспользовавшись принципом Мопертюи [2, 21] и формулой (7.7), получим, что ему соответствует семейство метрик вида
^= Ift-^ (7.9)
2 detA (q^-iq) V
Отметим, что и в общем случае произвольный симплектический лист алгебры е(3) диффеоморфен кокасательному расслоению двумерной сферы T*S2 [21]. Однако, при этом приведении система па сфере 142
Глава 2
(сфере Пуассона) содержит дополнительные линейные по импульсам слагаемые, соответствующие гироскопическим силам, и использование принципа Мопертюи не приводит к геодезическому потоку на S2.
Далее приведены примеры интегрируемых метрик на S2, соответствующих интегрируемым гамильтоновым системам па симплектичес-ком листе алгебры е(3),определяемом соотношением (М. 7) = 0. Большинство этих метрик было указано в работе [21].
1.1. Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона. Гамильтониан в случае Эйлера имеет вид
H = U1M2 + a2Ml + а3М2.
Как следует из предыдущих рассуждений ему отвечает следующая метрика на двумерной сфере (метрика на сфере Пуассона)
з _ h aIdQi + a2dQ2 + a3dq3
Дополнительный интеграл
F = М\ +Ml +M32.
Здесь и ниже в дополнительных интегралах M выражается через р, q по формулам (7.5).
1.2. Случай Лагранжа и «метрика вращения». Для случая Лагранжа гамильтониан можно представить в форме
