Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
- подмногообразие 20
Ранг пуассоновой структуры 19 Рассеяние вихрей 294 Расслоение Хопфа 121 Реализация связей 86 Регуляризация Болина 195, 285
- Кустаанхеймо-Штифеля 209 Редукция Дирака 77, 117, 365
- Paycca 69
- Уинтнера-ван Кампена 423
- по симметриям 74
- пуассоновых структур 68, 121
- системы 257
Решение Швартшильда 230 Риманова симметрическая пара 168 Ряды Лорана 112
- Пюизо 112, 225 Связи вторичные 84, 178
- голономные 84
- первичные 82, 178 Связка двух тел 249 Силы гироскопические 21 Симплектическая структура 19 Симплектический лист 19, 47 Симплектическое многообразие 19
- слоение 19 Система Вольтерра 373
- Дайсона 411
- Жуковского-Вольтерра 157, 387
- Калоджеро-Мозера 367
- Клебша-Переломова 133
- Леггетта 129, 137
- Лотки-Вольтерра 55, 67, 271, 373
- бигамильтонова 31, 42, 152
- - невырожденная 32
- гамильтонова 18
- инвариантных соотношений 78 - квазиоднородная 62
- мультигамильтонова 42 Скобка Схоутена 30 -Дирака 78,180
- Ли-Пуассона 22
- Пуассона 16 Скрытая симметрия 193
Случай интегрируемости Горячева-Чаплыгина 143
- -Клебша 136, 143
- - Ковалевской 118, 131, 144
- - Лагранжа 118, 142
- - Чаплыгина 117, 131, 145
- - Эйлера-Пуансо 111, 118, 142 Смещение перигелия 225 Согласованная структура 31 Спектр гамильтониана 351 Столкновительные траектории 224 Структура трансверсальная 81
- Ли-Пуассона 23
- согласованная 364 Структурная матрица (тензор) 17 Сферические координаты 231 Тензор Ньюхауза 44
Теорема Бернулли 96, 192
- Бертрана 192
- Вейса 262
- Гурвица 212
- Дарбу 19, 81
- Ирншоу 245
- Лиувилля 34
- Мультона 245
- Эйлера-Якоби 392 Тождество Якоби 18 Томсоновские конфигурации 287
- решения 277 Точка либрации 230
- - коллинеарная 232
- - треугольная 232 Углы Эйлера 90 Уравнение Янга-Бакстера 49 Уравнения Богомолова 262
- Бруна-Тиссерана 94
- Гельмгольца 98
- Кирхгофа 94, 95, 106, 131, 251
- Пуанкаре-Ламба-Жуковского 98
- Пуанкаре-Четаева 56
- Хилла 243
- Эйлера-Пуанкаре 58
- Эйлера-Пуассона 94
- вихревой динамики 257
- канонические 187 Функция Гамильтона 18
- Казимира 17
- отмеченная 17
- центральная 17 Центр завихренности 275
- приложения 108 Цепочка Богоявленского 378
- Тоды 351
- - замкнутая 351
- - индефинитная 356
- - незамкнутая 353, 360
- - периодическая 363
- - релятивистская 365 Шар Чаплыгина 388 Элементы Делоне 198 Эллипсоид инерции 282 Эффект Барнета-Лондона 389
- Штарка 205 Введение
Механика должна равноправно опираться на анализ и геометрию, заимствуя от них то, что наиболее подходит к существу задачи ... Но последняя обработка решений задачи всегда будет принадлежать геометрии.
Н. Е. Жуковский
Скобки Пуассона (пуассоновы структуры) и связанные с ними математические конструкции играют ключевую роль в гамильтоновой механике. Основные результаты классической теории, восходящие к Пуассону, Гамильтону, Остроградскому и Лиувиллю, были получены для скобки вида
определенной для канонических координат (q, р) в фазовом пространстве M2". Их достаточно полное обсуждение содержится в трактате Э.Уиттсксра [154].
Наиболее приемлемым современным математическим языком для изложения классических результатов, инвариантным относительно координатных преобразований, оказался язык симплектической геометрии и связанной с ней теорией внешних дифференциальных форм. С этой точкой зрения на гамильтонов формализм можно ознакомиться по известной книге В.И.Арнольда [2].
Скобка Пуассона (1) является невырожденной, то есть для любой гладкой функции F(x) ф const, х = (q,р), существует другая функция G(х) ф const, такая, что
(1)
{F(x),G(x)}^0.
(2)
О геометрическом истолковании в механике (1894 г.) Введение
11
Более общее понятие пуассоновой структуры, для которого требование невырожденности (2) уже может не выполняться, появилось в теории Софуса Ли «функциональных групп» и интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [278]. Теория Ли в целом была забыта математиками и физиками, пока П. Дирак пс возобновил к пей интереса в связи с обобщением га-мильтоновой механики, необходимым для целей квантования [57]. Физические рассуждения Дирака приобрели математическую законченность (возможно, излишнюю) в работах Лихнеровича [276, 277], Map-сдена [287, 288] и Вейнстейна [334, 335, 286]. Менее формальное изложение, дополпсппос различными физическими примерами гидродинамического происхождения, имеется в работе С.П.Новикова [129] (см. также [60]). В дальнейшем эти результаты позволили выработать альтернативную (по сравнению с формализмом внешних форм [2] и теорией производящих функций [154]) аксиоматическую основу гамильтоповой механики.
Отметим еще один любопытный исторический момент. В книге Ли [278] была введена скобка Пуассона па двойственном пространстве к алгебре Ли и фактически указана ее связь с коприеоединенным представлением группы Ли (скобка Ли—Пуассона, линейная скобка см. § 1, гл. 1). Эта скобка была забыта вплоть до 60-х годов нашего столетия. Ее переоткрыл Березин (в дальнейшем она применялась также Кирилловым, Костантом и Сурио) в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. В гамильтоновой механике интерес к структуре Ли—Пуассона возрос после появления работы В. И. Арнольда [1], в которой была представлена одна из форм уравнений движения п-мерного твердого тела вокруг неподвижной точки.
