Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
на совместной поверхности уровня первых интегралов и соответсву-ющем симлектическом листе пуассоновой структуры (8.8).
Замечание 8. Может оказаться, что скобка (8.8) по удовлетворяет тождеству Якоби во всем пространстве Rs — z\,...,za, в этом случае необходимо ограничить систему на максимальное пуассоново подмногообразие JVi С R" (см. выше).
Замечание 9. Во многих случаях (§5 гл. 2) Д выражаются через Za и являются функциями Казимира скобки (8.8). При этом гамильтониан также зависит лишь от переменных Z4 и константы интегралов /г = с, проявляются лишь при ограничении системы па фиксированный симплектический лист.
С геометрической точки зрения редуцированная система представляет собой систему па многообразиях порожденных потоками первых интегралов fi. В классическом случае — это приведенная система. Если интегралы (8.7) образуют алгебру Ли, то процедура редукции формализуется в схеме отображения момента и подробно изложена во многих работах [2, 3, 4, 131, 137, 156, 286, 319]. Формула (8.7) выражает критерий Фробениуса интегрируемости распределения, определенного гамильтоновыми полями Vi = {•,/»}• Если к линейным членам в (8.7) добавляются постоянные слагаемые, неустранимые заменой fi —> /i+C4-, то говорят о непуассоновском (негамильтоновом) действии группы Ли. Одно из возможных обобщений процедуры отображения момента в этом случае рассмотрено в § 8 гл. 4.
Восстановление закона движения в первоначальных переменных (абсолютное движение) может оказаться сложной проблемой если алгебра интегралов (8.7) некоммутативна (неразрешима). Во всех содержательных (физических) примерах, тем не менее, абсолютное движение удается восстановить с помощью простых квадратур.
4. Укажем еще один тип редукции неэквивалентный трем предыдущим, позволяющий получать новые интегрируемые системы из уже известных.
Рассмотрим гамильтопову систему па пуассоповом многообразии M (dim M = rn)
xi = {хі,н}, і = і,..., m, 76
Глава 2
обладающую инволютивным набором первых интегралов fi(x)
{fi,H} = 0, {/ь/і} = 0, г, J = 1,...3. (8.10)
Допустим, что первые к координат образуют замкнутую подалгебру относительно скобок Пуассона
{xi,x.j) = ъ.фгл,...,хк), i,j = l,...k, (8.11)
а оставшиеся т, — к переменных коммутируют с интегралами и гамильтонианом:
{y?,H} = Iyl^fj) = 0, n = k+l,...,m,j = l,...s. (8.12)
Выражая функцию Гамильтона H через переменные х\,...,хи, Ук+і, ¦ ¦ ¦, ут. и полагая Ijll = c? = const, получим редуцированную систему на пуассоновой структуре (8.11)
к ^jj
Xi = [xi,Hred(x)} = Yhij(x) Qx d^xi = (8.13)
j=і xi
где Hred{x) = Н{х,у)\у=с.
Функции Fi, выраженные через (х, у = с), определяют ипволютив-ный (в структуре (8.11)) набор интегралов системы (8.13)
fii-r) = їі{->',у)\у_с, і = 1,...,3. (8.14)
Как правило, при условии полноты набора функций fi(x,y), интегралы fi(x) также образуют полный набор и обе системы являются интегрируемыми.
С помощью такого способа может быть получен полный инволю-тивный набор и L — А пара обобщенного волчка Ковалевской из уже известных для уравнений движения системы взаимодействующих волчков на алгебрах so(3) и so(2).
Более формальное проведение этих рассуждений на основе представлений Лакса—Гейзенберга содержится в [132], где обсуждается также их связь с другими способами гамильтоповой редукции. В работе [141] из интегрируемой системы Ковалевской на so(p, q) при помощи указанной конструкции построены интегрируемые многомерные обобщения волчка Ковалевской. § 9. Скобка и редукция Дирака
77
4. Дополнительные замечания. Разобранные в этом параграфе общие принципы редукции в гамильтоновых системах существенно связаны с алгебраической (полиномиальной, дробно-рациональной) формой пуассоповой структуры. Как правило, па аналитическом уровне и в каноническом формулизме, представленном в книгах [2, 3, 4], такого сорта вопросы не возникают. Однако некоторые системы, возникающие, например, в динамике вихревых структур (см. гл. 4), могут быть вполне изучены лишь с применением изложенных соображений. Классические методы приволят здесь к очень запутанным вычислениям, в то время как использование известных фактов геометрии и теории групп Ли позволяют в едином ключе рассмотреть целый класс различных проблем.
Изложенные конструкции па первый взгляд выглядят очень неестественно. Тем не менее их введение необходимо для анализа конкретных физических проблем, рассмотрению которых посвящена оставшаяся часть книги. При желании читатель может возвратиться к этому разделу после ознакомления с таким «экспериментальным материалом».
§ 9. Скобка и редукция Дирака
1. Процедуры ограничения и скобка Дирака. В §1 была рассмотрена возможность ограничения пуассоновой структуры (М, J) на некоторое подмногообразие Nc С M заданной, например, совместным уровнем функций /г(х) = Cj, Cj = Const, І = 1, . . . , S. ОкЭЗЭЛОСЬ, ЧТО ДЛЯ этого оно должно быть пуассоновым, то есть для любой функции F(x) должно быть выполнено
Геометрический смысл условия (9.1) состоит в том, что все гамильтоновы векторные поля касаются Nc и поэтому корректно на него ограничиваются.
