Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Гамильтона для структуры Ли—Пуассона
— 1
(1.16)
в покомпонентной записи имеют вид
(1.17)
Уравнения (1.17) можно записать в более инвариантном виде
i = addff(x)> * Є 0%
(1.18)
где ad^, (? Є g) оператор коприсоединенного представления алгебры Ли g: ad|: 0* -)• g*.
7. Приложения к механике. Оказывается, что ряд задач механики, например, уравнения, изучаемые в классической динамике твердого тела, динамике вихрей, могут быть записаны в виде уравнений Гамильтона на пуассоновом многообразии со скобкой Ли— Пуассона (1.13). Отличием этих уравнений от канонической формы записи, как правило, является их простота и алгебраичность.
Представление уравнений движения в форме (1.17) называется ал-гебраизацией динамической системы [152]. В дальнейшем под алгебра-изацией гамильтоновой системы мы будем понимать более широкую возможность ее представления в виде (1.9) с алгебраическим гамильтонианом и структурным тензором. При этом для всех рассматриваемых далее примеров эти инварианты являются просто полиномиальными (в некоторых случаях полиномиальность может быть достигнута введением избыточных координат).
Уравнения Эйлера и геодезические на группе Ли. При выборе переменных для описания движения твердого тела вокруг неподвижной точки, в которых уравнения движения имеют наиболее простой вид, еще Л. Эйлер (1758 г.) предложил использовать проекции кинетического момента твердого тела на оси, связанной с телом системы координат. Уравнения Эйлера, описывающие вращение твердого тела по инерции (I — тензор инерции)
M = Mx AM,
A = I"1 = diag(ai,a2,a3), M= (MuM2, M3),
(1.19) 26
Глава 1
могут быть записаны как уравнения Гамильтона со скобкой Ли— Пуассона, порожденной структурными константами алгебры so(3):
{МиМ;} = -ецкМк (1.20)
и функцией Гамильтона H = (АМ,М)/2.
Скобка (1.20) является вырожденной и обладает функцией Казимира — интегралом момента:
M2 = Ml + M22 + M32.
Ненулевой уровень этой функции задает симплектический лист двумерную сферу, при редукции на него скобка (1.20) становится невырожденной ее ранг равен двум (центр сферы является сингулярной нульмерной орбитой). Координатами Дарбу в этом случае является система цилиндрических координат [131]. Замечание 2. Задание гамильтониана H в виде
Я = і (AM, М) = |(Iw,w),
определяет левоинвариантную риманову метрику на группе Ли SO(3). Операторы A: g —>¦ д*, и обратный ему А-1 = I: д* —>¦ g являются положительно определенными и задают переход от угловых скоростей ш к компонентам кинетического момента М. Уравнения (1.18) представляют собой уравнения геодезических на группе Ли, снабженной левоинвариантной римановой метрикой. Связь между уравнениями геодезических и уравнениями Эйлера динамики твердого тела обсуждается в [3], где также дается определение угловой скорости (кинетического момента) в теле и пространстве, как элементов алгебр Ли, полученных перенесением из касательного пространства в некоторой точке группы ® при помощи, соответственно, левых и правых сдвигов. Левоинвариантность формы кинетической энергии твердого тела при этом обусловлена тем, что она определяется вектором угловой скорости в теле и не зависит от расположения тела в пространстве.
В данной книге мы не будем подробно обсуждать связь алгебры Ли, соответствующей заданной скобке Ли—Пуассона, с порождающей ее группой Ли, тем более, что в некоторых случаях (динамика вихрей, цепочки Тоды) эта связь не является такой естественной, как в твердом теле.
Уравнения Эйлера—Пуассона. Развивая идею Эйлера, С.Пуассон (1810 г.) вывел более общие уравнения, описывающие движение тяжелого твердого тела в однородном поле тяжести, используя, наряду § 1. Определение и приліерьі скобок Пуассона. Скобки JIu—Пуассона 27
с компонентами вектора кинетического момента, проекции единичного орта вертикали 7 = (71,72,73) 11а тс жс оси-
Оказывается, что уравнения Эйлера Пуассона (а также уравнения Кирхгофа, описывающие движение однородного твердого тела в идеальной безвихревой жидкости по инерции) в переменных (М, 7) могут быть представлены как гамильтоповы уравнения со скобкой Ли Пуассона, определяемой коммутационными соотношениями:
[MitMj) = SijkMk, (Mis7j) = Sijkfk, {7<,7,-} = 0. (1.21)
Эти коммутационные соотношения отвечают алгебре е(3), являющейся полупрямой суммой алгебры вращений so(3) и трехмерной алгебры трансляций E3. Эта алгебра не является полупростой и обладает абеле-вым идеалом, определяемым переменными 7j. Переменные типа (М, 7) в механике называют квазикоординатами. Более общие уравнения движения твердого тела в квазикоординатах в произвольном потенциальном поле будут приведены в следующей главе.
Движения тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение, можно также описать как гамильтонову систему на алгебре .so(4), являющейся прямой суммой двух алгебр вращения: so(4) = so(3) ® so(3). При этом, один экземпляр so(3) отвечает кинетическому моменту тела, а второй — вектору завихренности (см. [18, 156]). Уравнения движения в этом случае были получены А.Пуанкаре [308], который почти в современной форме отметил их связь с алгеброй so(4). Другие примеры гамильтоновых уравнений, некоторые из которых имеют физическое обоснование приведены в книгах [18, 156].
