Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
(3.18)
(foa)(x, у) =^J /(я, г) а (z) 6 (z — і/) djx (z) = /(ж, г/)а(г/). J?
164Утверждение 2. Инг егро-дифференциалъные уравнения
Щ рЖ = (a M - а (X)) ^ / (*, z) f (t, Zt у) dp (z),
Ж (3.19)
df (t, х, у) = dt
-1 f^^r-'ЙДІ'?. - Я'.й * «
л
имеют дополнительный к набору (3.16) бесконечный набор первых интегралов (а(ж) и ?(f, х)—произвольные функции на множестве Ж из рассматриваемого функционального пространства).
Действительно, определим две обобщенные функции а(х, у)=а(х)Ь(х— у) и b(t, х, y)=$(t, х)Ь(х — у). По определению имеем
(а о b) (t, х, у) = j* а (х) б (х — z) ? (t, z) 6(z — у) d\i (г) = Ж
= а (х) ? (і, у) Ь(х — у) = а (х) ? (t, х) б (х — у).
Очевидно, а ° Ъ = Ъ ° а и [а, Ъ] = 0. Рассмотрим в алгебре Int (Ж, R) следующее дифференциальное уравнение с произвольным спектральным параметром E:
(/ + аЕ)' = [/ + аЕ, g + ЪЕ\. (3.20)
Уравнение (3.20) эквивалентно уравнению (3.14) / — = [/, g] и двум условиям (коэффициенты в уравнении (3.20) при Ei и E2):
[/, Ь] + Iai g] = 0, [а, Ъ]=*0. (3.21)
Второе условие (3.21), как показано выше, выполнено. Первое условие (3.21) в силу формул (3.18) эквивалентно соотношению
*(«• у) = p^jiy 1 (<•У)- <3-22)
Подставляя это выражение в уравнение (3.14), приходим ко второму уравнению (3.19). Первое уравнение (3.19) является специальным случаем второго при ?(?, х)=а2(х). Уравнения (3.19) имеют инвариантное подмногообразие кососимметрических функций Kt1X, у) = = — f(t, у, х).
165Проведенные рассуждения доказывают, что уравнения (3.19) эквивалентны уравнению (3.20) со спектральным параметром Е. Поэтому уравнения (3.19) имеют бесконечный набор дополнительных первых интегралов Jnm являющихся коэффициентами при Ek в разложении многочлена
с N
Jn =1(/ + aEf(t, х, x)d[L(x)1 Jn = 2 JN,kEh (3.23)
Ж к=°
по степеням спектрального параметра Е. При вычислении интегралов (3.23) и общих интегралов вида (3.16) используется определение
J / (t, Xy у) б (х, у) 1«=^ (х) = j / (t, X, х) d\i (х).
Ж Ж
Простейшие из интегралов jn,u имеют следующий вид:
JN,1 = Ar J офі) / (/, Z1, Z2)/ (f, Z2, z3) ...
Ж
. . . /(^i ZJY-1? i^i) ^Z1 , . . dXN—it JN,2 = iV j a2 (Z1) / (^ Z1, z2) / (?, z2, z3) ...
¦ JV-a
/ (?, Zh-v xh) a (xk)f(i, Zfe, ajft-j) . .. f(t, Xffi—11 j xm) X
г Г
. / ?, Zjv—2' ^l) dx! . . * rfzjv_2 + 2/(^ ^1, ^2) • • •
Ж а (i^m) / (^) ^rrn ^m+i) • ¦ ' / JJJV-21 ^l)
C^Z1 , . . C?ZjV—2*
Интегро-дифференциальные уравнения вида (3.19) могут иметь применения в теории уравнения Больцмана и теории общих кинетических уравнений.
Наряду с уравнением (3.20) рассмотрим также в алгебре Int (JT, К) уравнение (аЕ2 + fE + А)* = [аЕ2 + fE + + /г, g + которое при выполнении условий (3.21), (3.22) эквивалентно двум интегро-дифференциальным уравнениям
Liiiлі= Г / PC'y)-?«'*) *)-?(*>*) W
dt Jv а (у) — а (2) а [х) — а (2) / А
Ж
X / ?, Л, 2) / (f, Z, г/) du (z) + h [и Z, г/) (? (?, г/) — ? (f, z)),
166
0/ (?.Щ^1 -J 41?1/!'.^)
С?Ji (z).
Полученная система интегро-дифферендиальных уравнений также имеет бесконечный набор первых интегралов
JNh типа (3.23). Рассматривая уравнение {аЕ2 + fE + h) = = [аЕ* + fE + h, / + приходим к системе уравнений
df (t, х, у)
dt
dh (t
= (а (у) — a (x))h(t, х, у),
j"(Ap, х, z)/(f, г,)-
dt
—f(t, я, г) h {t, г, #)) (z),
которая, очевидно, эквивалентна одному интегро-диффе-ренциальному уравнению с производными второго порядка по t и также обладает бесконечным набором первых интегралов типа Zjvj1.
§ 4. Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах
и ее применения
I. В данном параграфе предлагается общая конструкция дифференциальных уравнений в произвольной непрерывной ассоциативной алгебре 5t, которые допускают эквивалентное представление Лакса в пространстве линейных операторов, действующих на St. Пусть G, H — два произвольных коммутирующих автоморфизма алгебры St.
Теорема 1. (Теорема о двух коммутирующих автоморфизмах.) Дифференциальное уравнение в ассоциативной алгебре St вида
d^ = afi (b) - bav (4.1)
где элементы а\ и Ъ алгебры St связаны соотношением
Н(Ь)-.Ь = HG-1^O-аи (4.2)
допускает эквивалентное представление Лакса со спектральным параметром.
Доказательство. Определим следующие линейные операторы L и Л, действующие на ассоциативной алгебре St:
L(*, A,)=ai(f)G + bH, A(t, X) = b{t)+№G~\ (4.3)
167где X — произвольный спектральный параметр. Уравнение Лакса
L = LA-AL (4.4)
с операторами (4.3) эквивалентно следующей системе уравнений, которые являются коэффициентами при степенях параметра X:
X2: H2G"1 - HG-1H = О,
A1: H(6)H — Ш + aiGHG-1 — HG"1 (?i)H = 0, (4.5) X0: ai = atG(o) — bai.
В силу коммутативности автоморфизмов GhH первое уравнение (4.5) тождественно справедливо. Второе уравнение (4.5) в силу GHG-1 = H сводится к уравнению (4.2), третье уравнение (4.5) совпадает с уравнением (4.1). Поэтому уравнение (4.1), (4.2) эквивалентно уравнению Лакса со спектральным параметром (4.4).
Из уравнения (4.4), как показано в § 2, следует, что функции Ik(X) = T (h(t, X)k) являются первыми интегралами дифференциального уравнения (4.1), (4.2). В случае конечномерной алгебры St первыми интегралами являются также функции Д(А) = Tr(L(?, Х)к). Теорема доказана.