Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
В алгебре Int (Ж, ER) естественно определяется структура бесконечномерной алгебры Ли
[/> g] fay) = / о g — g о / =
= J (/ z) 8 У) S (ж, 2) / (г, й) ?^ (z). (3.3)
Л
Интегральный оператор, соответствующий функции [/, g], является коммутатором интегральных операторов F и G.
II. Пусть h: Ж ->¦ Ж — диффеоморфизм многообразия Ж, сохраняющий меру |и. Тогда отображение H -.Sr(M)-+ -+SF(Jt), определенное формулой (Hf) (x)~f(h(x)), очевидно, является автоморфизмом алгебры SPr (Ж). В алгебре Br (Ж) определен функционал
*(/) = f ](x)d^(x), (3.4)
Л
удовлетворяющий свойствам (1.2) . Теорема 1 из § 2 полностью применима к алгебре ?Г(Ж). Дифференциальные уравнения (2.1) — (2.3) в этой алгебре принимают вид
(р-1 р-1
(3-5)
л=і и=і
-Ц (t, х) = f (t, X) (п / (<¦ hh (X)) - П / (і. W))- (3-6)
где с —і отвечает уравнению (2.2) и с — 2 отвечает уравнению (2.3). Операторы Лакса, соответствующие этим уравнениям, имеют вид
Li=/(f, x)W~p + XH, L2 = f{t, х)П + №1-»,
Lз = /(f, яНШ-' + ЯН). (3.7)
Уравнения (3.5), (3.6) согласно теореме 1 и лемме 1 имеют счетное множество первых интегралов, определенных формулой
Ik= T {Lfp)= f ФіаМ^Ф), і = 1, 2, 3, (3.8)
Ж
11 О. И. Богоявленский 161где к — произвольное натуральное число и функция Фій(х) является коэффициентом при H0 в разложении оператора Lпо степеням автоморфизма Н.
Уравнение (2.17), (2.31) при к== 0 принимает вид
ShShJL _ exp (q (і, Ir1(X)) - q (t, *)) -
dt
-exp (q(t,z) — q(Uh(x))) (3.9)
и является обобщением цепочки Тода в алгебре функций (Ж, К). Оператор Лакса для уравнения (3.9) имеет вид
L = lKa (t, х) H + X-1H"1 + p(t, х), a (t, х) = exp (q (t, х) — q (t, h (х))),
Уравнение (3.9) обладает счетным множеством первых интегралов, которые определяются формулами
Ik = T((ha(t, s)H + Ar1H-1.+ />(f, х))к). Простейшие из этих интегралов имеют вид
h = J P х) ^ (ж)» h s J (Р2 (*» х) + (*» c^
Ж Ж
I3 = J (р3 (і, г) + зр (г, ж) a (t, х) +
ж
+ Зр (t, х) a (f, W1 (я))) ^(л (х).
Уравнение (3.9) является следствием принципа наименьшего действия
— exp (q(t, /T1(Z))-х))^ d[i (х) dt = 0 (3.10)
1
при произвольных вариациях og(f, х). Интеграл -^Z2
являетс-я интегралом энергии, соответствующим вариационному принципу (3.10).
III. Пусть алгебра Ш является алгеброй гладких мат-ричнозначных функций [Ж, M (п, ER)) на произволь-
162ном многообразии Ж и автоморфизм H определен формулой
(Н (а)) (х) = Q(h(x))a(h (х)) Q"1 (h (х)),
где Q (х)— обратимая матрица, не зависящая от времени. В этом случае уравнение (2.49) принимает вид
(at(t, x)a~](t, ж)Ь = c(x)a(t, h~[ (ж) )Q(^)a_1 (t, х)~
— ait, x)Q(h(x))a~l(t, h(x))c(h(x)), (3.11)
где c(x) = C\(x) Q-1 (x). Согласно утверждению 1 уравнение (3.11) обладает счетным множеством первых интегралов (2.53). Два простейших интеграла Ik имеют вид
I1 = Tr J at (t, х) а~х (іt, х) сіц (х),
Ж
Z2 = TrJ ((at(t, x)a~1(t, х))2 + Ж
+ 2a (hT1 (a;)) Q (я;) аТ1 (х) с (ж)) d\k (я:).
Уравнение (3.11) в случае скалярных функций a(t, х) при cQ = 1 сводится к уравнению (3.9) с помощью замены a(t, x) = expq(t, х).
Укажем некоторые предельные случаи уравнения
(3.11). Пусть Ж = К и h(x) = x + e. Уравнение (3.11) при Q (х) — к ¦ 1 представляется в виде
(а^а-1)* = с] — сх) +
+ кг? 1сахха~г — CLyflT^atfT1C + аха~гсх cxxj + о (є2). (3.12) Рассмотрим два случая.
1) Функция с(х) — произвольная гладкая матрично-значная функция на К. Положим к = Уравнение
(3.12) в пределе при е -*¦ О переходит в уравнение
(ata~l) t = с] — сх.
2) Функция с(х)— Jii ¦ 1 = const. Положим к = є-2. Уравнение (3.11) в пределе при є ->- О переходит в уравнение
(ata~l)t = H-Owr1)*. (3.13)
Тип уравнения (3.13) определяется знаком ц. При р, = =aH-I уравнение (3.13) в новых переменных | = t + х и
И* 163Л = ? — X принимает вид 1) ч + 1) & = 0, т. е. совпадает с уравнением главного кирального поля на группе Ли GL (/v. Lb?). Ii ри jut == — 1 переход к новым переменным I и п сохраняет вид уравнения (3.13).
IV. Рассмотрим в алгебре Int (Ж, К) интегро-диф-ференциальное уравнение, имеющее вид уравнения Эйлера
df(t,x,y) С'/4/4 \ \ -щ-= 1Л 8]= \ U (І, х, z) g (t, Z, у) —
Jt
— g (t, X, Z) / (t, г, у)) d\і (z). (3.14)
Уравнение (3.14) всегда имеет бесконечный набор первых интегралов. Действительно, из уравнения (3.14) по индукции нетрудно получить уравнения (к — 1, 2, ...)
atHtmX' у) - [Л Sl (3.15)
tl
где / =/«/»... »/в соответствии со структурой ассо-
А
циативной алгебры (3.1). Из уравнений (3.15), очевидно, следует, что функционалы
/fc-j" Ih(UXiX) dp (X) (3.16)
Ж
являются первыми интегралами уравнения (3.14).
Б дальнейших построениях существенно используется б-функция б(х—у), определенная условиями [48]
(6 о /) (ж, у) = j b(x — z)j (z, у) d\i (z) = / (яг, у), Jt
(/ « O) (X, у) =\f (Xi z) 6 (z- у) dlI (z) - f (Xi у). (3.17) Ж
Для обобщенной функции а(х, у) — а(х)б(х — у) в силу (3.17) имеем
(а о /) (х, у) = f a (я) б (х — z) / (z, у) dp (z) = a(x)f (x, у), Ж