Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Богоявленский О.И. -> "Опрокидывающиеся солитоны" -> 23

Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны — М.: Наука, 1991. — 320 c.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка): oprokidivauesoliton1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 97 >> Следующая


При у = X уравнение (5.7) переходит в уравнение МКдФ (1.7). При этом оператор L совпадает с оператором L из работы [42], но оператор А (5.2) после замены ду на дх не совпадает с оператором А из работы [42]. Замечание. Рассмотрим уравнение

L =-fL+ [L1 A-fxoJ, (5.8)

где операторы L и А определены формулами (5.1), (5.2), (5.6), і — произвольная функция от t и у. Используя вывод уравнения (5.7), нетрудно получить, что операторное уравнение (5.8) эквивалентно уравнению

Vt = Ot1 (i'xxy + ? (ид*1 (и\)х) + у (хи)х- (5.9)

Все формулы для решений уравнения (5.7) (см. ниже § 6, 7) после простых изменений переносятся и на решения уравнения (5.9).

§ 6. Опрокидывающиеся солитоны

I. Запишем уравнение (5.7) в следующем эквивалентном виде:

Vt = (2 VdZ1 (V2)y — SVxy) х, (6.1)

который переходит в уравнения (1.5), (1.6) при S = Ih s = —l. Представим уравнение (6.1) в виде, не содержащем операции дх х:

(?1 (vt — Av2Vy + SVxxy))* = Avvy, (6.2)

Опрокидывающиеся солитоны уравнения (6.1) — (6.2) будем искать в виде бегущих волн

v(t, х, у) = Ці, у)а(%), S-M*, У).х-Vit1 у). (6.3)

74 После подстановки формул (6.3) в уравнение (6.2) и приведения подобных членов получаем, что функции K(t, у), «p(f, у) должны удовлетворять уравнениям

Kt = TnK2Kv, ф, = TnK2Cfy, (6.4)

где т — некоторая постоянная. При этом уравнение (6.2) сводится к следующим двум уравнениям для функции a (S):

F' = Aaa', F = (та' — 4а2а' + sa"')/a', (6.5) ((та - 4а3 + 3sa" )/а')' + F = 4а2. (6.6)

Покажем, что система этих двух уравнений совместна и эквивалентна одному уравнению, которое имеет вид

Sa12 = Ui- та*. (6.7)

Проинтегрировав уравнение (6.5) по находим

F = 2а2 + C1, sa'" = 6а2а' +(а-т)а'. (6.8)

Интегрируя еще раз, получаем

sa " = 2 a3 + (C1-W)a + с2. (6.9)

Это уравнение лагранжево и имеет интеграл энергии Е:

sa'2 ^ai+ (C1- т) а2 + 2саа + 2Е, (6.10)

Таким образом, уравнения (6.5), (6.9), (6.10) эквивалентны.

Уравнение (6.6) после подстановки выражений для F (6.8) и sa" (6.9) и проведения дифференцирования принимает вид

4 (a2+ C1-j mj а'2 = (2а? + (Зсг — 2т) а + Зс2) а". (6.11)

После подстановки в (6.11) выражений (6.9), (6.10) получаем равенство двух многочленов шестой степени. Эго равенство является тождеством, если произвольные постоянные удовлетворяют условиям Cl=O, С2 = 0, Е — 0. В этом случае уравнение (6.10) принимает вид (6.7). При этом, согласно проведенным преобразованиям, оба уравнения (6.5), (6.6) удовлетворены. Следовательно, система двух уравнений (6.5) — (6.6) эквивалентна уравнению (6.7).

75 И. Решения уравнения (6.7) при s = I определяются формулами:

при m = Ь2 > 0 а(1)=Ъ cos"1^ + с),

при т = — Ь2 <0 a(t)=bsh~1(bt, + c),

при т = 0 a(l) = (t,~c)-\

При s = —l необходимо предположить, что m = б2 > 0; при этом уравнение (6.7) определено в полосе Ial =? Ibl и все его решения имеют вид

a(?)=bch-4b? + c). (6.12)

Особые точки уравнения (6.7) а = ±Ъ соответствуют точным решениям уравнения (6.1), не зависящим от переменной X:

v(t, х, y) = K(t, у), Kt = AK2Ky. (6.13)

Решение (6.13) эквивалентно опрокидывающейся волне Римана.

Уравнения (6.1), (6.7) инвариантны относительно da-мены знака у функций v(t, х, у) и а(?), поэтому во ьсех формулах решений можно изменить знак.

Проведенные рассуждения после подстановки в формулах (6.3), (6.4) Х\ = ЪХ, фі = b(f доказывают следующее утверждение.

Утверждение 2. Уравнение (6.1) при s = 1 имеет точные опрокидывающиеся решения, определенные формулами

Vi = К cos-1 (Xx — ф) ,Xt = K2Ky, ф( = Х2фу, (6.14) V2 = К sbr1 (Kx — ф), Xi = -X2Xy, ф( = — А2ф„. (6.15)

Уравнение (6.1) при s = —l имеет точное решение — опрокидывающийся солитон

v= ch (Xx- ер)' = ^ = (6-16)

Солитонное решение (6.16) является гладким ПО X и быстро убывает при Ixl -»-«>. Решения (6.14), (6.15) имеют сингулярности на оси х. При преобразовании Миуры Ux = V2+ Vx солитон (6.15) переходит в функцию

Ux = ~ Ch (Xx- ф) + 1 - сЬ- - 11)' - (6Л/)

где (.1=/./2, г) = ф/2. Формула (6.17) определяет опрокидывающийся солитон интегрируемого уравнения (1.1)

76 (см. гл. II. § 3). Применение преобразований Миуры Ux = = V2 ± Vx к функции (6.14) приводит к сингулярным опрокидывающимся решениям уравнения (1.1).

§ 7. Эволюция данных рассеяния

Уравнение на собственные функции

La|) = Xty, ty = (7.1)

для оператора (5.1) эквивалентно системе двух уравнений ^Aec + Vty2 = іРЛїх + Vty1 = Mv (7-2) Система (7.2) после замены

= Ур2 ЄХР ( — Ікх/P1P2) V2,

— у і,О J

^2 = УPl exp{ — ikx/pip2)Vi

принимает вид

, .Л Л - 1 iv

vIx + l%-^irv 1 = Tr=vV

'I1 /РЛ (7.4)

, P2 1V

V9 +Ik--V9 = -TZ=V,.

2x^ PiP2 2 VP1Pt

Далее предположим, что выполнены соотношения

Pi +Р2 = 2, pip2 >0. (7.5)

В этом случае в уравнении (5.7) параметр ? > 0, и уравнение вещественно не эквивалентно уравнению (1.1). Система (7.4) после введения обозначений

C-X^Zi- -X^11 q=-q (7.6)

Pi 2 PiP2 у P1P2

переходит в систему

Vix + i&i = QV2, V2x — ilv2 = qv^ (7.7)
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed