Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Из (6.3.3) имеем
alJ + 2a2,j(Xj+ 1 -^) = «1,У+ 1.
откуда
= аУ+1~аЧ, 0^j^n-2. (6.3.7)
a2J =
2(^+i ~xj)
Подставляя' (6.3.7) в (6.3.6), получаем формулу
„ _2(АХ^1-ЛХ$ „ (в т о>
«1,у+1------------;-----------;-«и, (0--5-8)
*\/ + 1
которая последовательно дает возможность определить все значения
" 1Г
а1,19 «1,я-1 по известному коэффициенту а1,о = ^(л:о)- Затем по
формуле (6.3.7) находим значения я2,о? я2д, •••> а2,п-2' И, наконец, из
(6.3.6) находим
а1,и-1
2,И 1 (Х»-Х»-1 f (*и —*n-l)'
Таким образом, все коэффициенты (6.3.4) определяются однозначно, что и требовалось доказать.
Построенный сплайн можно теперь использовать для
решения задачи интерполяции, а именно определения /(*), ~хфху Положим /(*) —^гС*)- Справедливо следующее утверждение. Теорема 6.4. Пусть f(x)eC3 [я, 6], хе(а, Ь). Тогда
| /(x)-S2(x)|sScA\
где h= max \xj+l—Xj\, константа с не зависит от h.
O^j^n— 1
6.3.3. Кубическая сплайн-интерполяция. Интерполяция кубическими сплайнами наиболее популярна в настоящее время. Имеется большое число фортран-программ, реализующих такие алгоритмы [9]. По аналогии с п. 6.3.2 сплайн 53(л:) дефекта 1 задается следующим образом:
SAx^Siji^^j+auix-x^+^jix-Xjf+a^jix-Xj)3 на каждом интервале [Xj,xj+l]. Дополнительные условия, определяющие коэффициенты а0j, я1Д, a2J, a3J, O^j^n—l, следующие: S3(xj)=f(xj), 'S3(xj+1)=f(xj+1), 0</<и; во внутренних узлах
|S3(,,+0)=|S3(*,-0),
?«»(*,+0)-?ss(*,-0).
\
258 4 .
Общее число неизвестных Ап, число дополнительных условий равно Ап — 2. Недостающие условия задают обычно на краях интервала при х = х0, х = хп. Полученная система линейных уравнений приводится к специальному, так называемому трехдиагональному виду. Такие системы эффективно решаются методом прогонки (см. гл. 10). Пусть задаются следующие краевые условия:
^2Яз/ х х х ^2// х
При этом сплайн З'з(х) определяется единственным образом. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 6.5. Пусть /(х)еС4[я, Ь\ хе(а,Ь). Тогда
|/(*)-53(х)|<сЛ4,
где тах |х;*+1—х.-|, константа с не зависит от к.
1
Заметим, что главное отличие интерполяции сплайнами от интерполяции полиномами состоит в том, что повышение точности связано не с повышением степени полинома, а с уменьшением расстояния к между узлами. Кроме того, повышение точности не влечет за собой требования существования у /(х) производных все более высокого порядка.
Кубические сплайны дефекта 1 нашли широкое распространение из-за того, что это сплайны минимальной степени, которые в узловых точках имеют непрерывную вторую производную, а следовательно, непрерывную кривизну:
11х2
к=г
1+(1
3/2-
Непрерывность
проектировании
кривизны является обычным требованием при кривых и поверхностей различных технических
двумерной
объектов. Проектирование поверхностей связано с интерполяцией и применением двумерных сплайнов.
6.3.4. Применение программы АЗА1. Двумерная поверхность, задается набором точек, напри-
мер, на прямоугольнике Е> плоскости (х, у) (рис. 6.5). Задача интерполяции, как и в одномерном случае, состоит в приближенном Определении /(х, у), где (х, у)ф
Нхь л).
Двумерный сплайн—функция, «сшитая» из кусков двумерных полиномов. Пусть область ?={*()разби-та на ячейки
^(XI, Щ)
Рис. 6.5
9*
259
= yi<y<yj+i}> O^j^m-l.
Двумерный бикубический сплайн определяется на каждой ячейке Ditj в виде произведения одномерных кубических сплайнов:
S{x, у) = А3(х)Вг{у),
Аъ(х) = а0+а1х+а2х2 + аъхъ,
в3 b>)=b0+bly+b2y2+b3y3.
Такое представление позволяет, сопоставляя функции /(х, у), задан-ной таблицей* интерполяционный бикубический сплайн, конструировать его на основе одномерных сплайнов.
В программе АЗА1 реализована интерполяция (приближенное определение /(х, у) по таблице f(xh у}) с помощью одномерной
интерполяции, с двумя последовательностями шагов.
»
Первая последовательность:
фиксация уь определение Sx (х, у,-), So, 1 (х, у).
Вторая последовательность:
фиксация хь определение S0 (xf, у), Si,0(x, у).
Значения S0,i(x, у), Si,0(x, у) можно принять в качестве приближения к /(х, у). Модуль разности | S0,1 (х, у) — Si, 0 (х, у) служит оценкой вычислительной погрешности.
В качестве примера применения программы АЗА1 рассмотрим задачу определения / (0,15, 0,25) по таблице f(xby})\
f(xt, yj)=(anXi)(sinyj),
X;=0,1 г, 0</<10, Vj=0,2/, 0<y'<5.
Программа может иметь следующий вид:
REAL XC,YC,S01 ,S10,X(l 1),Y(6),F(11,6),HX,HY,
* Wl(l l),W2(l 1),W3(1l),W4(l1)
INTEGER I,J,M,N
DATA I,J,M,N/0,11,6,11 /,XC,YC/0.15,0.25/
HX=0.1 HY=0.2
С ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ МАССИВА X,Y,F DO 1 11 = 1,11
1 X(ll)=HX*(Il-l)
DO 2 J1 = 1,6
2 Y(J1)=HY*(J1 — l)
DO 3 11 = 1,11 DO 3 J1 = 1,6
3 F(11, J1)=(SIN(X(11 )))*(SIN(Y(J1)))
С ОБРАЩЕНИЕ К ПРОГРАММЕ АЗА1
CALL АЗ А1 (ХС, YC,X, Y,F,SO 1 ,S 10,1, W1,
260 X’
V
* W2,W3,W4,J,M,N) с ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ
WRITE (5,4) S01,S10 4 FORMAT (2X/S01 = ',Е13.6,2X,'S 10 = ',Е13.6)
END
• 6.4. Равномерные приближения
В 6.2 и 6.3 в качестве критерия выбора из класса функций (полиномов или сплайнов) рассматривалось совпадение в узлах Xj функции f(x) и аппроксимирующей функции g(x, а). Получаемая при этом погрешность как в равномерной норме, так и в среднеквадратичной, вообще говоря, может быть уменьшена.
