Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
и(п+1)(Е>) = о
или
и(.+иф =/<*+1)(^) - р (»+1.(У = 0.
Но для любого- полинома п-й степени Р5Г+1) = 0, для полинома (л+1)-й степени a)^+V) = (w+l)!- Из последнего соотношения находим
ыЫг <6'16>
Из (6.2.5), (6.2.6) следует утверждение теоремы.
254
V.
Таким образом, погрешность аппроксимации f(x)c^Pn(x) имеет оценку
1/(*)-Л,(*)К/-^ю,,+ 1(*) max |/<л+1)(х)|.
а^х^Ь
Если нет необходимости находить интерполяционный полином Рп(х\ а следует вычислить лишь его значение Рп(х), то применяется вычислительная схема Эйткена. По этой схеме вычисляются последовательно в точке х полиномы
1 f(xt)
А\ i+1(?*)— А./+l,i + 2 W =
xi+1-Xi
1
xt — X /(*» +1) xi+l-x
Li,i+l(x) xi-x Li+l,i + 2(x) xi + 2-x
х1+2-х1
и т. д. Можно показать, что
Рп(х) = Ь о,1,2 „(*)•
Вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполняться неравенство
1^од &(•*)“"А), 1,1(^)1 2^&^л, (6.2.7)
где в—заданная точность, т. е. в процесс вычислений не вовлекаются лишние узлы, а используется лишь столько узлов, сколько обеспечивает заданную точность 8.
6.2.2. Пример построения интерполяционного полинома Лагранжа. Рассмотрим таблицу
-1 2 3 5
Axj) -1 3 2 4
Следуя формуле (6.2.3), находим
Р М ( 11 (*-2)(*-3)(*-5) , ,
/ I /(_1_2)(—1—з)(—1—5) ' '(2+1)(2—3)(2—5)
, /л\(*+1)(*-2)(*-5) , рл^+Ш*-2)^-3)
' ' (3 + 1)(3—2)(3 —5) (5 Ч-1) (5—2) (5—3) ’
Можно вычислить приближенное значение /(х) в точке х=2.5 по формуле
/(2,5)^Р3(2,5).
Однако, не зная оценки модуля четвертой производной |/(/К)(х)1 на интервале [—1,5], нельзя оценить погрешность полученного интерполяционного значения. Более того, легко привести пример Функции /(х), имеющей те же табличные значения и неограниченной в точке х=2,5:
(х—2,5)
255
Этот пример показывает, что, хотя для формального построения интерполяционного полинома достаточно иметь лишь таблицу значений функции f(x), оценка погрешности требует дополнительной информации о поведении f(x) и ее производных на интервале интерполяции. Без оценок соответствующих производных интерполяция практически лишена смысла. Другие формы интерполяционных полиномов можно найти в [2, 4, 24].
6.2.3. Применение программы АЗАО. Для вычисления значения интерполяционного полинома Лагранжа в точке х по схеме Эйткена можно применять программу АЗАО. Пусть функция f(x) задана таблицей
X 1,0 1,1 1,3 1,5 1,6
/(*) 1,000 1,049 1,140 1,225 1,265
Требуется‘вычислить приближенное значение /(1,15) с точностью 8=10_3. Программа может иметь следующий вид:
INTEGER N, I REAL X(5),Y (5),Z,E,F (5),P DATA X/l., 1.1, 1.3, 1.5, 1.6/
DATA Y/l., 1.049, 1.14, 1.225, 1.265/
DATA Z/1.15/, Е/0.001/
N = 5
CALL A3A0(N,X,Y,Z,E,F,P,I)
С ВЫВОД НА ТЕРМИНАЛ
WRITE (5,1) I,P 1 FORMAT* (2X/I = ,I2,2X,'F = ,E10.3)
END
# 6.3. Сплайны
Оценка погрешности интерполяционного полинома указывает на то, что с ростом числа узлов п и соответственно степени полинома Рп(х) может увеличиваться погрешность из-за роста ||/(я)(х)Н (ухудшение гладкости /(*)). Кроме того, с ростом п возрастает вычислительная погрешность определения Рп(х). Эти соображения приводят к другому способу приближения функций—с помощью сплайнов.
6.3.1. Определение сплайна. Пусть интервал [а, Ь] разбит узлами Xj, как и выше, на п отрезков, 0</^л.
Сплайном Sn(x) называется функция, определенная на [я, Ь], принадлежащая -Ск[а,Ь] и такая, что на каждом интервале [Xj,xj+1], O^j^n— 1,— это полином п-й степени
Sn(x) = a0'j+aujx+ ... +anJxn, Xj^x^xj+1.
Дефектом сплайна d называется разность между степенью, определяемых его полиномов и порядком гладкости k, т. е.
d=n—k.
Примеры сплайнов: ^(х) с дефектом с1=\, ?2(*) с дефектом <У=2— приведены на рис. 6.4. Наиболее распространены сплайны дефекта 1, ниже рассматриваются только такие сплайны.
6.3.2. Параболическая сплайн-интерполяция. Рассмотрим задачу аппроксимации функции /(х), заданной таблично в узлах х,., ДхД сплайном ?2(х) дефекта 1. Определим ?2(х) следующим образом:
82{х)=32-](х)=а0>}+аи(х-х^+а21}(х-х])2 (6.3.1)
на каждом интервале [х,-, х,+1]. Формула (6.3.1) определяет полином 2-й степени—параболу. Потребуем выполнения во всех узлах условий
,(*,)=/(*,), ?2,./(^+1 )=/(*;+Д (6-3-2)
0<у^л— 1,
и дополнительно условий непрерывности первой производной во внутренних узлах, т. е.
0<у^л — 2.
Для определения сплайна ?2(х) по формуле (6.3.1) необходимо найти Зл неизвестных:
ао,р <*1,р «2.Я 0<у^л-1. (6.3.4)
Условия (6.3.2), (6.3.3) дают Зл—1 соотношения для определения
коэффициентов (6.3.4). Для того чтобы найти коэффициенты,
требуется задать еще одно дополнительное условие. Это может быть, например, условие
рлы№3.5)
либо аналогичное условие на правом конце интервала [а, Ь ].
Теорема 6.3. Условия (6.3.2), (6.3.3), (6.3.5) достаточны для определения единственного сплайна ?2(х).
Доказательство. Покажем, что указанные условия дают
возможность определить все коэффициенты (6.3.4). Из (6.3.5) находим
-%1 \
9 Ю. П. Боглаев
257
Из (6.3.2) имеем
«оJ=f{xj), 0<7<и-1, ao.j+ai.j(Xj+i-Xj) + a2j(xj+1 - х,)2 =f(xJ+ j).
Отсюда получаем
«!,./(*;+1 - JCy) + e2jfo+1 ~xj)2 =/(*,+ i )-/(*;)• (6-3-6)
