Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
с заданным начальным вектором
х(г0)=х(0). (1)
Математическая модель. Предположим, что поведение вектора состояния во времени можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением
§=/М- (2)
Чтобы получить уравнение (2), необходимо использовать методы теории управления, механики, выделить главные черты управляемого движения и пренебречь второстепенными. Соотношения (1) и (2) и являются математической моделью процесса управления.
Вычислительный метод. Точное решение (1), (2) удается найти в исключительных случаях (линейные уравнения с постоянными коэффициентами, переменные разделяются, специальные уравнения). Как правило, используют приближенные методы. Простейший из них — явный метод Эйлера. Интервал \_t0, tn] покрывается дискретным множеством ti = {t0 + ih}, где h—шаг интегрирования, /=0, 1, 2, ..., N. Будем искать приближения xt к вектор-функции x(t) на множестве ti9 следуя методу Эйлера:
*;+i=*;+hf(xt, t,), х0 = х<0). (3)
Формулы (1), (3) представляют собой вычислительный метод, который может дать некоторые приближения xi9 i= 1, 2, ..., N, к точным значениям х(^) на множестве Важнейшей задачей выбора вычислительного метода является обеспечение сходимости приближений к точному решению (|| *,• — *(*/) ||-? 0, h-*0) и оценка погрешности приближений (\\х( — *(^)|| = ?).
Алгоритм. Алгоритм метода Эйлера без контроля точности можно описать следующим образом. .
1. Задать числа t09 tN, h, вектор л:0.
2. Вычислить
3. По вектору х( вычислить вектор xi+l9 следуя формуле0 (3), и выдать его значение на дисплей.
4. Закончить процесс вычислений после определения вектора xN.
Программа. Возможный вариант программы на фортране приведен ниже. Перевод английских слов можно найти в словаре (см. Приложение 1):
REAL X(10),F(10),TO, SUBROUTINE S(F,X,T)
REAL TN,H,X REAL X(10),F(10),T
INTEGER N,I,J F(1) = T+X(2) **2
READ (5,1) TO,TN,H,X F(2) = X(3)-X(1)
1 FORMAT (F7.4) ................
N = (TN —TO)/H ................
DO 3 1=1,N F( 10) = COS(X(9))
11
CALL S(F,X,TO) DO 2 J = 1,10
RETURN
END
2 X(J) = X(J) + H*F(J)
WRITE (5,1) X
3 TO=TO+H END
В правом столбце представлена часть программы, вычисляющая правую часть (2):
Работа На ЭВМ. Пользователь ЭВМ должен быть зарегистрирован в ОС* РВ администратором, ему присваивается код идентификации, например [231, 1], он должен иметь пароль, например ТСЖ. Работа на ЭВМ заключается в наборе следующих команд на ‘клавиатуре дисплея (каждая строка заканчивается нажатием клавиши возврата каретки). Подчеркнутые символы выдаются на экран дисплея ОС, пропущенный текст заменен многоточием:
два нажатия возврата каретки * ЕХ
> FOR UPR,UPR = UPR
>ТКВ UPR/CP = UPR, [1,1 ] FOROTS/LB
> RUN UPR
набор чисел TO,TN,H, вектора X
выдача на дисплей результатов вычислений
> ТТ:-------STOP
> BYE
Здесь приведен вариант дисплейного сеанса от входа в ОС по команде HELLO (здравствуйте) до выхода из ОС по команде BYE (до свидания) в предположении, что пользователь не совершал ошибок. Реально работа на ЭВМ состоит в устранении различных ошибок в программе (отладка программы) с помощью диагностики ошибок, которая выдается на экран дисплея программами ОС.
Укажем те элементы математического моделирования, которые находятся в центре внимания настоящей книги. Это вычислительный
fi = t+х\, /г = хг-х1, /10 = cos*9.
> HELLO
> [231,1]
> PASS WARD: TOR
> EDI UPR,FTN
набор текста программы, приведенного выше
12
V
Рис. В.2
метод, алгоритм, программа, работа на ЭВМ. Частично затрагиваются вопросы, связанные с математической моделью, но лишь в аспекте выбора той модели, которая может быть оптимально реализована на ЭВМ, технические задачи приводятся для иллюстраций и пояснения происхождения математических моделей.
Схема рис. В.1 представляет собой способ применения ЭВМ изолированно, в автономном режиме (OFF LINE) от какого-либо реального процесса, который модель описывает.
Наиболее общая форма применения ЭВМ в технических задачах— это одновременное использование ЭВМ для математического моделирования реального процесса, объекта и управление этим процессом, объектом в реальном времени — режим связи ЭВМ с объектом (ON LINE).
ЭВМ в системе управления процессом. Применение ЭВМ для управления технологическими, экспериментальными и f. п. процессами, установками подразумевает наличие модулей связи между объектом управления и ЭВМ. Это объясняется тем, что информация с объекта поступает в аналоговом виде (сила тока, напряжение и т. д.), а ЭВМ обрабатывает информацию, представленную в цифровом виде. Сигналы управления из ЭВМ на объект должны быть преобразованы из цифровой формы в аналоговую. Программа моделирования и управления размещается в памяти машины. Схема управления изображена на рис. В.2. Стрелками показан путь реализации задачи управления и моделирования. Здесь необходимо программировать работу модулей связи, а также учитывать время исполнения различных фрагментов программы на ЭВМ. Важно, чтобы временные характеристики объекта были согласованы с временем исполнения программы. Программа управления переходным процесом не должна работать дольше, чем длится сам этот процесс.
