Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
2 л= 1
1 71 1 71
ап = - | /(х)со$пхс1х, Ьп = - | /(х)ьтпхс1х9
Я Я
или в комплексной форме
А*)~ Г с»е'“ С« = - I Дх)е~‘ПХйх
п= - 00 -я
составляет предмет Фурье-анализа. Фурье-анализ лежит в основе методов решения многих инженерно-технических задач, таких, как выявление скрытых периодичностей в динамических процессах, решение линейных уравнений математической физики методом Фурье и т. д. На входе алгоритмов А6 имеем /(х) в аналитической или табличной (часто называемой дискретной) форме, на выходе— коэффициенты ряда Фурье. Заметим, что коэффициенты ряда Фурье—это функция С=С(п) от целочисленного аргумента. Если п заменить вещественным со, то преобразование функции /(х) в С(со) называют Фурье-преобразованием. Алгоритмы А6 выполняют также Фурье-преобразование.
А7. Дифференцирование. Вычислительный блок дифференцирования функции одной /(х) или нескольких переменных /(*)=/(х19 х2, ..., хп) имеет на входе аналитическую или табличную форму /(х), на выходе — аналитическую или табличную форму производной Аналитическое дифференцирование представлено в си-
стемах аналитических вычислений на ЭВМ. В этом случае блок А7 дает точную аналитическую формулу для /$(.*). Алгоритмы численного дифференцирования А7 на выходе имеют приближенную функцию ф(лг) к Рхр(х), ф(д:) может иметь как аналитическую, так и табличную формы.
А8. Операции с матрицами и векторами. Алгоритмы этого семейства реализуют основные операции линейной алгебры. На входе алгоритмов задаются матрицы и векторы, на выходе имеем результат операции. Примерами таких операций являются сумма, произведение матриц, обращение матрицы, скалярное произведение векторов, ортогонализация векторов и т. п.
А9. Решение систем линейных уравнений. На входе алгоритмов семейства А9 задаются матрица системы линейных уравнений
43
А и вектор правых частей Ъ системы уравнений Ах = Ь\ на выходе для матрицы с ёеЫ# 0 получаем вектор л:—решение системы.
ВО. Собственные значения и векторы. На входе алгоритмов ВО задается матрица А, на выходе выдается система собственных векторов еь /=1, 2, т, и соответствующих собственных значений Хь удовлетворяющих уравнениям
В1. Линейная оптимизация. Входом канонической задачи линейной оптимизации является вектор с = (с19 с2, ..., сп), определяющий скалярное произведение Ф(х) с неизвестным вектором л;, у которого координаты х(^0, 1 ^ ^ я,
Ф(х) = (с, х) = с1х1 +... +Спхп.
Матрица А имеет размер тхп, вектор Ь = (Ь19 ..., Ьт). Они описывают ограничения типа равенств
Ах = Ь.
На выходе алгоритмов В1 имеем вектор л;, доставляющий пипФ(л:), либо сообщение о неразрешимости задачи.
В2. Решение линейных интегральных уравнений. Интегральное уравнение общего типа можно записать следующим образом:
Ах — \х = Ь.
Входом алгоритмов семейства В2 являются функции А (г, я)—ядро интегрального оператора А
Ах{1)= А(г, s)x(s)ds, 1еВ1,
°о
область интегрирования И0, область значений Д, число X, функция ?(/). Выходом В2 является функция х(г)—решение интегрального уравнения—либо информация о неразрешимости или бесчисленном множестве решений.
ВЗ. Корни полиномов. Алгоритмы семейства ВЗ по входным данным—коэффициентам а1, 0 ^ ^ п,— определяют корни хь, 1^/^я, полинома
Рп(х) = а0 + а1х+а2х2+... +апхп.
Следует заметить, что до 4-й степени (и ^4) корни Рп(х) могут вычисляться по коэффициентам аналитически.
В4. Корни нелинейных уравнений. Алгоритмы решения нелинейных уравнений В4 на входе имеют нелинейную функцию /(х) одной переменной или систему нелинейных функций нескольких переменных /(.х)=/(х1х2, ..., л:„), в области Д точность
определения корня, на выходе алгоритмы В4 выдают корни (один или несколько) уравнений /(х) = 0 в области В.
В5. Нелинейная оптимизация. Входные данные алгоритмов В5 — нелинейная функция Ф(х), х=(х19 ..., хп) и область И переменных
\
АЛ *
х, где ищется минимум или максимум Ф(х). Область D может быть задана, например, неравенствами ф(х)^0, и равенствами ф(л:) = 0, На выходе алгоритмов — вектор х, доставля-
ющий min Ф(л:) или шах Ф(х) в области D либо сообщение о неразрешимости задачи.
В6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, задача Коши. На входе алгоритмов В6 задаются вектор-функция /((х, У19 •••> У'«)> интервал a^x^b двумя числами а, Ъ и начальный вектор У0) = (у1, У 2, ..., Уп), ТОЧНОСТЬ 8. На выходе —
вектор-функция у{х) = (у1(х), у2(х), ..., уп(х)), а^х^Ь,— решение
задачи
=fi(x, Ун •••> Уп)> У&)=У? ?
В7. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, краевые задачи. Входом алгоритмов В7 являются вектор-функция /(х, yl9 ..., уп), интервал а^х^Ь, заданный числами а, Ь,
вектор-функция cpi(yl, ..., уп), На выходе—у(х) = (ух(х)9
у„(х))—решение краевой задачи
dyi г/ \
-=Мх, уи уп),
<ps(yi(a), }>„(а)) = 0, 1 «Sn,
Ук{У\{Ь), Л(6)) = 0,
или сообщение о неразрешимости или бесчисленном множестве решений.
В8. Решение уравнений с частными производными. На входе алгоритмов В8, как и В7, задаются функции, описывающие дифференциальное уравнение, например, вида
du _/Y d« д2г/\ dt дх5 дх2 J
Здесь /—функция на входе В8. Кроме того, на входе задается область D изменения независимых переменных. Для рассматриваемого уравнения область D может быть следующая:
