Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
F2 —имя внешней функции-подпрограммы, вычисляющей Ф2 (j),
F —имя внешней функции-подпрограммы, вычисляющей
/(*> у),
Е —заданная абсолютная погрешность,
I —индекс ошибки, до обращения положить 1 = 0;
выходные:
Z —значение интеграла,
N —число узлов, в которых вычислялась /(л;, у);
J ГО — нет ошибок,
|l —точность не достигается с максимальным числом узлов.
12.3.6. Суммирование рядов
А5А0: суммирование числового ряда
Программа вычисляет сумму ряда
00
$ = Y Uk
fc=l
по заданной относительной точности посредством преобразования Эйлера, ускоряющего сходимость.
459
SUBROUTINE A5A0(U,S,N,E,I)
Параметры входные:
U —имя внешней функции-подпрограммы, вычисляющей к-й член ряда по заданному к REAL FUNCTION U(K)
INTEGER К
N —целое, максимальное число слагаемых в частичной сумме ряда, 1,
Е —вещественное, относительная погрешность вычисления S;
выходные:
' \г
S —вещественное приближенное значение суммы ряда,
I —индекс ошибки;
(L—нет ошибок
1 —точность не достигается с заданным N.
А5А1: вычисление предела последовательности Программа вычисляет предел последовательности
S= lim ик
к—* оо
с помощью ускоряющего сходимость преобразования по заданной относительной точности.
Subroutine A5A1(u,n,s,e,i)
Параметры входные:
U —вещественный одномерный массив, размерность А, содержит (и19 и2, %),
N —целое, размерность массива и, 10,
Е —вещественное, относительная погрешность вычисления S;
выходные:
S —вещественное, приближенное значение предела,
I —индекс ошибки;
О—нет ошибок
1 точность не достигается с заданным N.
А5А2: суммирование рядов Чебышева
Программа вычисляет сумму отрезка ряда Чебышева в заданной точке jc, — 1 < * < ’+1, по заданным коэффициентам аь К / < N, следуя формулам
460 Ч-
V.
N
0,5^+ ? atTi-i(x), m = 1,
i-2
N
5'=< 0,5^ + ? af72i-2(*), m=2,
>=2
N
YctiTu-i(x) w = 3,
т=1 соответствует общему случаю, т = 2—сумма полиномов четной степени, т = Ъ—нечетной.
X —вещественное, аргумент х,
А —вещественный одномерный массив, размерность А, содержит коэффициенты (аи а2, %),
N —целое, размерность массива А,
М —целое, индекс типа ряда т\
12.3.7. Фурье-анализ. В этом разделе представлены программы, вычисляющие дискретное Фурье-преобразование N комплексных чисел
Обратное дискретное Фурье-преобразование задается формулой
Отсюда следует, что комплексно-сопряженные величины есть прямое дискретное Фурье-преобразование от й>*. Следовательно, обратное дискретное Фурье-преобразование для и>к получается переходом к комплексному сопряжению % выполнением прямого
FUNCTION A5A2(X,A,N,M)
Параметры входные:
выходные:
А5А2 — вещественное, содержит значение 5.
zj = xjJriyp
по формулам
|, 1, (12.3.1)
или в вещественной форме
wk = ak + ibk,
461
преобразования и, наконец, комплексным сопряжением результата. Поэтому ниже рассматривается только прямое преобразование. Используются алгоритмы быстрого Фурье-преобразования.
А6А0: Фурье-преобразование N вещественных чисел
Программа вычисляет Фурье-преобразование N вещественных чисел хр 1 по формуле
Параметры входные:
X —вещественный одномерный массив, размерность И, компонента А^у-И) должна содержать хр N —размерность X, целое число, Ы=2Р, р^ 20,
I —индекс ошибки, до обращения положить 1 = 0;
выходные:
X —содержит ак, ЪК для и>Л, причем ак = Х(к), 0^k^N/2, Ьк = Х(к), М/2<к^М—1; остальные компоненты получаются из равенств ам-к = ак, Ьм~к = —Ьк;
А6А1: Фурье-преобразование N комплексных чисел
Программа вычисляется преобразованием чисел zp O^j^N— 1, по формулам (12.3.1).
SUBROUTINE A6A1(X,Y,N,I)
Параметры входные:
X —вещественный одномерный массив, размерность N, должен содержать X(j+l) = ReZj=xp O^j^N—l,
Y —вещественный одномерный массив, размерность N,
должен содержать Y(j+ l) = lmzj=yp 0<y^JV—1,
N —размерность, целое число N= 2Р, /?< 20,
I —индекс ошибки, до обращения положить 1 = 0;
выходные:
X —содержит X(k+\\ = Rewk = ak, O^k^N—l,
Y —содержит Y(k+ \) = lmwk = bk, O^k^N—l;
462 \
Величины wk комплексные, обладающие свойством
Wiv-fc = W*.
SUBROUTINE A6A0(X,N,I)
1 —N слишком велико, p> 20.
1=
О — нет ошибок,
1 — N слишком велико, р > 20.
12.3.8. Численное дифференцирование
А7А0: дифференцирование таблично заданной функции с переменным шагом
Программа вычисляет численно первую производную }>(х), используя интерполирование по трем последовательным точкам таблицы (*;, }>;):
аргумент хг х2~.Хн
значение функции уг у2—Ун значение производной 2^ 2г...2к
Ошибка аппроксимации в следующая:
в= max
dy / ч
< - max (xi+1 — xt)2 max
xx^x^xN
d3y dx3
(x)
SUBROUTINE A7A0(X,Y,Z,N,I)
Параметры входные:
X —вещественный одномерный массив, размерность N,
содержит массив х{
Y —вещественный одномерный массив, размерность N,
содержит массив у{
N —целое, размерность массивов X, Y, Z;
выходные:
Z —вещественный одномерный массив, размерность N,
I
содержит массив zh -индекс ошибки,
Г 0—нет ошибок,
1=< -1—А<3,
^>0—совпадают узлы х( = хр Му.
А7А1: дифференцирование таблично заданной функции с постоянным шагом
Программа вычисляет численно первую производную у{х), используя интерполирование по пяти последовательным точкам таблицы (хь у(), Х1+1—х1 = И; по массиву уь шагу к находится численное значение 2{ производной в узлах. Ошибка аппроксимации в следующая:
