Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
END
С ВНЕШНЯЯ ПОДПРОГРАММА, ОСУЩЕСТВЛЯЮЩАЯ
С ВЫВОД ЗНАЧЕНИЙ Y(X)
SUBROUTINE 0(X,Y)
REAL X,Y(2),H DATA Н/0.1/
WRITE (5,1) X,Y(l),Y(2)
1 FORMAT (2X,'X=',F4.1,'Y(1)=',E13.6,'Y(2)=',E13.6)
X=X+H RETURN END
# 10.3. Жесткие уравнения
10.3.1. Примеры жестких уравнений. Понятие жесткого уравнения связано с жестким условием устойчивости разностных схем для таких уравнений. Рассмотрим модельную задачу Коши на интервале О^л:^ 1:
396
^Ху+а, у(0)=у<°>. \
'.V
Пусть X—достаточно большое отрицательное число. Разобьем интервал [0,1] постоянным шагом к и запишем схему Эйлера (10.1.21):
У1+1=У1+ЬХу1+аН, 0</<т—1, к=1/т.
Для нее условие устойчивости (10.1.26) принимает вид \\ -\-кХ\^д<.\.
При больших значениях \Х\ это условие ограничивает выбор шага к величинами порядка
(10.3.1)
Условие (10.3.1)—жесткое условие на шаг к, отсюда и возник термин «жесткие» уравнения.
При этом уравнения с большими А,>0 не относятся к классу жестких по той причине, что условие типа (10.3.1) практически не играет роли. Выбор шага обусловлен требованием хорошего приближения к точному решению. Действительно, задача
^=1(%+10о, Ио)=о
ах
имеет точное решение у = ехр(100х) — 1. Для того чтобы приблизить у( 1) с точностью до двух верных значащих цифр, в схеме следует взять к = 10 “ 6, тогда получим
У1Об = (1+/г-100)1/А-1=2,67-1043,
7 (1) = 2,69 • 1043,
в то время как условие типа (10.3.1) рекомендует выбирать шаг /2~10'2.
Совершенно по-другому обстоит дело в случае больших отрицательных X. Задача
^=-Ю0у+100, Ио) = о
ах
имеет точное решение у= 1 — ехр(— 100л:) (рис. 10.7), из вида которого следует, что при значениях х>0,05 точное решение отличается от 7=1 в третьем знаке. Решение разностной схемы
= 1 —(1 —к • 100)*
описывает приближенно точное решение только если
11 — к • 1001 < 1, откуда следует, что должно быть выполнено жесткое условие к <0,02. Если оно нарушено, например Л = 0,05, то будем иметь следующие значения у{. 7о = 0> У 1 = 5, у2= 15, ..., ничего общего не имеющие с точным решением.
397
Ул
Сравнивая точное и приближенное решения, отмечаем, что в приближенном решении слагаемое (1— /г 100)*, которое аппроксимирует ехр(— 100л:), не позволяет увеличить шаг, хотя для значений д;>0,05 вклад этих слагаемых
г
y^x^ReA,«-!
y2(x),ReA2^-1
Рис. 10.8
в решение оценивается третьим знаком.
Этот факт демонстрирует общую ситуацию, характерную для жестких уравне^й: решение содержит слагаемое, вклад которого мал почти на всем интервале интегрирования, но для сохранения устойчивости методы, не ориентируемые на эти уравнения, требуют аппроксимировать это слагаемое достаточно точно, выбирая малый шаг Н. Для точности представления решения, как будет видно из дальнейшего, такой маленький шаг не нужен.
Более содержательный пример жестких уравнений дает система линейных уравнений
где у,/—векторы, А—постоянная матрица, у которой все собственные значения \ имеют отрицательные вещественные части такие, что
В этом случае решение у (х) содержит быстропеременные слагаемые вида ехр(А*х;), у которых Re А* <$с — 1, и медленно изменяющиеся слагаемые, у которых ReAf~ —1.
Здесь возникает та же ситуация, что и в первом примере: условие устойчивости в явной схеме Эйлера не дает возможности интегрировать с шагом h, определяемым точностью медленно изменяющихся слагаемых для тех значений л;, где ехр (А*х) с ReAf<$:l мало отличаются от нуля (рис. 10.8).
В технических задачах роль независимого переменного обычно играет время. Тогда быстро протекающие процессы (затухающие во времени) на фоне медленно протекающих порождают явление, описываемое жесткими уравнениями.
Для общих систем нелинейных дифференциальных уравнений понятие жестких уравнений вводится по аналогии с приведенными выше примерами. Пусть имеем задачу
?=^+/, (Кх<1, у(0)=У°>
ReA^A^O,
min |ReA(|~l, max |ReAJ^>l, max IlmAJ^l. (10.3.2)
398
точное решение которой .у(*)=(}'1 (х), ..., д>„(л:)). Вычислим якобиан:
А (*)= >’> (*)> -• Л(*))» 1 <*>1 ^п-
Если матрица А(х) при некоторых хе[0,1] обладает свойствами
(10.3.2), то исходная система уравнений относится к классу жестких.
Для характеристики уравнений относительно явления жесткости вводится коэффициент жесткости
7 тт11е( — АДх))
где Хг(х)—собственные значения матрицы А(х). На практике система считается жесткой, если ?(х)>10, однако в задачах химической кинетики, управления, электрических цепей коэффициенты ?(х) достигают величин ~106 и более.
В качестве примера рассмотрим известную модельную задачу химической кинетики:
^=-0,04^ + 10^3, МОИ,
^=0,04^-104^з-3-10>|, у2 (0)=0, (10.3.3)
5=3-10^, *(0)-0.
Эта система имеет интеграл, равный
У1+У2+Уз=1>
поэтому сводится к системе второго порядка, для которой коэффициент жесткости 3(х)~\04 на интервале 0<х<1.
Не случайно в этом разделе интервал интегрирования строго фиксирован единичным 0<х<1. Большая длина интервала интегрирования может привести к тому, что система уравнений должна рассматриваться как жесткая, хотя ? (х) и не велик на [а, Ь],
Это легко понять из простого примера. Пусть имеем задачу
