Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. По условию,
Р-^ = 0(кр).
Но тогда, переходя в (10.1.24) к оценкам модуля г и учитывая
(10.1.25), получаем
шах |гК|у(0)||/)-еЙХ|с = О(/2р),
что и требовалось доказать.
Коротко утверждение теоремы формулируется так: аппроксимация и устойчивость схемы дают ее сходимость.
Пусть, в модельной задаче >.<0; пусть, кроме того,
|Р(йА,)|<0<1. (10.1.26)
Тогда схема устойчива. Действительно, в этом случае (1</<го) имеем
|р<-1+р.-2еМ.+ ...+е»(г-1)|<|Р‘-1+Р'-2-|- ...+ 1|^_!_=с>
1 ~Я
т. е. выполняется неравенство (10.1.25). Для рассматриваемых трех схем условие устойчивости (10.1.26) — ограничение на выбор шага И — принимает вид
1
\-нх
<«<1;
+ /Д/2
1 -АЛ/2
<?<1.
Заметим, что при больших значениях X эти условия ограничивают шаг Н только для первой разностной схемы.
Пусть в модельной задаче >.>0. Тогда все рассматриваемые схемы неустойчивы. Действительно, в этом случае для достаточно малых Н имеем Р> 1, далее
|Р‘—1+/>‘-2ем.+ ...+е1Л(‘~1)\>\Р‘~1 + Р1~2 + ... + 1|=^-^, 2^Кт.
Но правая часть этого неравенства стремится к бесконечности при / = т->оо.
Не следует считать, что неустойчивые схемы нельзя применять для вычислений. Важным является не свойство устойчивости, а свойство сходимости разностной схемы. Поэтому если в (10.1.25) с(Л)->оо, Л-+0, но при этом
{Р{НХ) — ^Н1)с{И)^0, й->0,
то схема является сходящейся.
386 \
V,
В качестве примера рассмотрим схему (10.1.21) при у(0)=1, Ъ = 1 для двух уравнений:
здесь Х= — 1, схема устойчива;
здесь А,= + 1, схема неустойчива.
Для устойчивой схемы при Л = 0,1; 0,01 разность между точным решением в точке х=\ и разностным соответственно равны:
е-1 —(1 —0,1)10 = 0,019 при /2 = 0,1;
= 0,001% при /2 = 0,01.
Для неустойчивой (но сходящейся) схемы
е-(1+0,1)1О = 0,12 при /2 = 0,1,
е-(1+0,01)1ОО = 0,013 при /2 = 0,01.
Из приведенных числовых значений легко заметить, что скорость сходимости устойчивой схемы на порядок ПО /2 выше, чем сходящейся, но неустойчивой схемы.
# 10.2. Задача Коши. Методы Рунге — Кутта
В 10.1 приведены разностные схемы, которые имеют невысокий порядок точности аппроксимации по шагу к. Такие схемы на практике используются редко, поскольку они обладают медленной сходимостью к точному решению. Однако при построении более точных разностных схем необходимо, чтобы правые части дифференциальных уравнений были достаточно гладкими. Обычно число непрерывных производных правой части уравнения должно быть на единицу больше порядка точности. Поэтому недостаточная гладкость правых частей уравнений может быть главной причиной использования разностных схем невысокого порядка точности.
10.2.1. Применение рядов Тейлора в построении разностных схем. Покажем, как с помощью рядов Тейлора можно построить схему произвольного порядка точности аппроксимации дифференциального уравнения на шаге. г
Рассмотрим задачу Коши
%=АХ’У)> У(а)=Ут (10-2.1)
на интервале [а, Ь ]. Разобьем интервал на т отрезков узлами х( с постоянным шагом к. Точное решение задачи (10.2.1) в точке х1 + 1 на любом из частичных интервалов [х{, х{+1], 0 ^ < т — 1, можно представить в виде ряда Тейлора с центром в точке х{.
13*
387
Имеем для функций /(х, у) (р+1 раз непрерывно дифференцируемых по обоим аргументам) формулу
Производные в (10.2.2) вычисляются согласно дифференциальному уравнению (10.2.1) следующим образом:
у'(х)=/(х, у),
Здесь следует положить у=у(х) — точное решение (10.2.1), а затем подставить х = х(.
Если отбросить в (10.2.2) остаточный член, то получим дискретное уравнение
ГДе 0 5^ t rrt—1, J/Q—у оадапи о yiv.L.iy. j ^aDnvnnv
определяет двухточечную явную разностную схему. По формуле
(10.2.4) можно последовательно определить все значения yt (рис. 10.3), начиная с yt и кончая ут.
Погрешность аппроксимации (10.2.1) разностным уравнением
(10.2.4), очевидно, равна величине отброшенного остаточного члена, т. е. О (hp+1) при h—*0. Если взять р= 1, то получаем схему
совпадающую с (10.1.16). Это явный метод Эйлера. Если взять р=2, то получаем схему
(10.2.3)
Упі=Уі+?(хі,Уі),
(10.2.5)
Уі+і =yi+h [/(*іУі)+^ (fx (хіУі) +/; (х^)/ (ад))], (10.2.6)
Уі-м
порядок аппроксимации которой 0(h3). Это так
•Ут называемый исправленный
' лп/ушп/іА п/у nrt
метод Эйлера.
Для получения разностных схем методом рядов Тейлора необходи-
мо иметь аналитические выражения полных производных по х от функции /(х, у), а именно (10.2.3). Это может быть достаточно громоздкой задачей. В таком случае ряды Тейлора не применяются, а используются методы Рунге — Кутта.
10.2.2. Методы Рунге — Кутта. Идея методов Рунге — Кутта состоит в том, чтобы представить дискретную задачу, соответствующую (10.2.1), в виде
^+1=;И/ + Лф(*ь Уь А)» 0<1<?и-1, (10.2.7)
где функция ф (х, у, к) приближала бы отрезок ряда Тейлора (10.2.2) с точностью 0(кр+1) и в то же время не содержала бы производных /(х,у). Таким образом, в основе методов Рунге — Кутта лежит подгонка ряда Тейлора.
Заметим, что метод Рунге—Кутта первого порядка (р= 1)—это метод Эйлера, так как здесь в вычислениях используются только значения /(х, у).
