Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
аУ !„\_у(х1+1)-уЫ
сЬс[Х°~ к
Разность
0_аУ1,.\ •у^-иЬЖ)
К~7х{х‘>------к-----------------’
вычисленная на функции у(х)еС2 [а, Ь\ называется погрешностью аппроксимации. Для (10.1.12) имеем
Я = 0(к), к^О.
Точностью (или порядком точности) аппроксимации называется порядок степени И, с которым К [к) стремится к нулю при Н->0. Для (10.1.12) порядок точности—первый.
Аналогично выводится двухточечная формула для первой производной—дифференцирование назад:
^(Х1)=У^~у(Х‘-1Ко(!1), ККт. (10.1.13)
аху п
Более точной является двухточечная формула для первой производной—центральная разность
хМ-И*1"):/(*'-‘-! + 0(П К/«т-1. (Ю.1.14)
иЛ
Формула (10.1.14) верна, если у(х)еС3 [а, Ь].
Для первой производной можно выписать многоточечные формулы, например трехточечная формула имеет вид
Ф7/ \ “У(^-2) + 4у(х1 + 1)-Зт(л:1.) , „П2\
В общем виде многоточечная формула имеет (при достаточной гладкости }>(.*)) вид
?(*,•)= Х>^Ы+оИ>
ах к = 0
где коэффициенты ак выбираются так, чтобы порядок точности формулы был р. Аналогичный подход применяется и для высших производных.
Теорема 10.1. Пусть у(х)еС4[а, Ь]. Тогда для второй производной справедлива формула численного дифференцирования
(ШЛ5)
для внутренних узлов 1 ^ < т — 1.
Доказательство. Разложим у(х + Н\ у(х — И) в ряд Тейлора до членов четвертого порядка
у(х+Н)=у(х)+^(х)И+\ ^{*)к2+\ 0НЛ3 + О(А4),
у(х-И)=у(х)-^(х)к+\ %{х)Ь2~\ §(*)А3 + 0(П
Подставляя правые части в выражение
у(х+И)-2у(х)+у(х-И)
получаем формулу (10.1.15), что и требовалось доказать.
10.1.6. Простейшие разностные схемы задачи Коши. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Рассмотрим исходную задачу Коши на сетке хь 0^/^т:
? (*.') =/(*„ у (*;))> у (*„)= у{0).
Заменяя левую часть дифференциального уравнения формулами
(10.1.12) — (10.1.14), получаем:
У{Х‘+1)~У{Х1}=/(ХьУ(Х1))+0(к),
у(-ъ) =[(хьу(*;)) + О (й), 1<г<т,
у(х1+1)^у{х^)=/Мх)) + 0{П
Если отбросить погрешность аппроксимации производных в этих соотношениях, то получим разностные схемы: '
^р=/(*,л), о</<1и-1, ь=7(0); (ю.1.16)
383
=Ахі>Уі)> Кі<т-1\ 7о=7<0)- (10.1.18)
(10.1.17)
Разностные схемы (10.1.16), (10.1.17) аппроксимируют исходную задачу Коши для достаточно гладких функций на сетке с первым порядком точности, схема (10.1.18) — со вторым порядком точности.
Схема (10.1.16) называется явной разностной схемой, схемы
(10.1.17), (10.1.18)—неявными. Термины связаны с тем, что формула (10.1.16) дает возможность вычислить значение у(+1 в следующей
если известно, значение уь в то время как формулы (10.1.17),
(10.1.18) задакУг ^значения в следующей точке как неявную функцию от значений в предыдущих точках.
Схема (10.1.18)—незамкнутая разностная схема в том смысле, что система уравнений (10.1.18) имеет т+1 неизвестное уь 0</<т, и только т уравнений. Замкнуть систему можно по-разному. Чтобы не потерять второй порядок точности аппроксимации, обычно заменяют
шаг сетки увеличивают вдвое и получают следующую неявную схему: ь
у0=у(0).
В качестве примера построения разностных схем рассмотрим модельную задачу
точке сети х/н_^ по явной формуле
Уі+і=Уі+?{хі,Уі),
л)=2[/(*<-1> л-1)+/(*?+1, я* і)];
к 2
= 2 [Лхі> 3>і)+/(*. +1’ Д'і+і)]’ (10.1.19)
у(0)=>7<0\
(10.1.20)
где X—константа. Точное решение (10.1.20):
У (^)=};(0)е^.
Разностная схема (10.1.16) примет вид
У1+1=У1+КЬ-Уь 0<1</и-1, 7о=3;(0>-Разностная схема (10.1.17)
У1=У1-1+ЬХу1, 1 з>о=/0).
Разностная схема (10.1.19)
ЬХГ -1 ,
У^+l=‘Уt+Y[Уl+Уt+l]> 7о=У0)- (10.1.23)
\
' V.
(10.1.21)
(10.1.22)
384
Точные решения уравнений (10.1.23) — (10.1.23) следующие:
Я+1=(1+Л*').У/> Л=0+АА.)УО)> 0<1<т; у‘-Т^ку>~" Л=(Г=кр'°' (к‘«т-
при условии йХт*1;
\ ИХ/2 [\-\-НХ/^\ /ЛЧ
И+1=Г1Т7;Л> Л=1—гт^)у(0)» 0<1<т.
-ЙХ/2 \1-ЛХ./2/
при условии ЬХФ2. Точное решение (10.1.20) в узлах сетки принимает значения
у(х1) = еХх1у{0) = ^шу{0\ 0</<т.
Отсюда находим погрешность решения соответствующей разностной схемы:
г = ((1 + /2Х)1 —еш)у(0), г = ((\+1гХ)~1 — еш)у{0\ /2X7*1,
еш |у(0), /2X7*2.
1 +/*Х/2У ^ ^ (0)
1-ЛХ/2/
Обозначим Р(йХ) коэффициент преобразования у( в у1+1 при переходе из узла сетки х( в следующий узел. Для трех рассматриваемых схем имеем:
Р(йХ) = (1-йХ),
Р(/2Х) = (1-/2Х)-1,
Р(йХ) = (\ +/2Х/2) (1 —/2Х/2)-1.
Тогда погрешность решения разностных схем запишется в форме
г=/°> (Р-еКк)(Р1-1+Р1-2еНк + ... + РеНк{1'~2)-\-еКк{1'~1))9
1 </<т. (10.1.24)
В этом выражении первый сомножитель связан с начальным условием, второй — с погрешностью аппроксимации дифференциального уравнения разностным на одном шаге, третий—с накоплением погрешности по шагам /=1,2,..., т.
Разностная схема называется устойчивой на модельной задаче
(10.1.20), если накопление погрешности по шагам не зависит от числа шагов, т. е.
? )<с, (10.1.25)
к= 1
где константа с не зависит от т.
Разностная схема называется сходящейся на модельной задаче
(10.1.20), если
шах 1л—;у(*,)|-»0 при /2->0,
1 ^ ^ т
13 Ю. П. Боглаев 385
сходящейся с р-м порядком, если
тах \у1—у(х1)\ = 0(йр), й->0.
1 ^ ^ т
Теорема 10.2. Если разностная схема устойчива на модельной задаче (10.1.20) и имеет р-й порядок точности аппроксимации дифференциального уравнения на шаге, то схема сходится с р-м порядком к точному решению.
