Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
. х = с1х1 +С2Х2,
с1? с2—константы, то значение у есть линейная суперпозиция значения /(*1) и /(х2), а именно
У =/(*) =/(с! х1 + с2х2)=с1/(х1) + с2/(х2). (9.1.1)
Например, пусть х, у — векторы, /{х) — Ах, где А—матрица размером пхп. Тогда свойство (9.1.1)—следствие свойств матричных операций
* Л(с1Х1+С2Х2) = С1Ах1+С2Ах2-
Нелинейные функции у=/(х) не удовлетворяют принципу суперпозиции, например для у = х2 (9.1.1) не выполняется:
(сг хг + С2х2)2 Ф сг х\ + с2 х\.
Этот факт лежит в основе различия линейных и нелинейных уравнений.
Наиболее общий вид нелинейных уравнений, изучаемых в настоящей главе, следующий:
/Лх1? х2, (9.1.2)
/2(х1? х2, хп)=у2,
ЫХ1> Х2> Хп) = Уп>
или в векторной^ записи
/{х)=у, (9.1.3)
здесь /—функция (или отображение) с областью определения ИеЕп и областью значений ()еЕп, вектор у задается.
Частным случаем (9.1.3) являются линейные уравнения
Ах—у. (9.1.4)
\
344
Первое отличие (9.1.3) от (9.1.4) состоит в том, что область определения О в (9.1.3) может не совпадать с Еп. Например, функция
1п х=у (9.1.5)
имеет область определения ?> = {0<л:<оо}е?,1 = { — оо < л; < оо}. Поэтому решение уравнения (9.1.5) следует искать только в области Г).
Второе отличие (9.1.3) от (9.1.4) состоит в том, что в области определения й при заданном у может существовать несколько решений. Такой ситуации не было в линейных уравнениях.
В линейных уравнениях возможны следующие варианты. Имеется:
1) единственное решение;
2) бесконечное множество решений;
3) решений нет.
Линейные уравнения являются частным случаем нелинейных, поэтому для нелинейных уравнений возможны упомянутые выше три варианта, а также:
4) имеется п решений, 2 <л<оо.
Примером четвертого варианта могут служить задачи определения корней полиномов
ад-о. (9.1.6)
Если полином Рп(х) можно представить в виде
где х{—вещественные числа, то уравнение (9.1.6) имеет п решений в Е1.
9.1.2. Геометрическая интерпретация решения системы уравнений.
Каждое уравнение в системе
/1(х1, х2, Х„)=0,
/2{х1, х2, ..., х„) = 0,
/„(*!, Х2, ..., Х„) = 0 ••
определяет некоторую (не обязательно непрерывную) поверхность в Еп. Следовательно, решениями (9.1.7) являются точки пересечения этих поверхностей.
Для примера рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными
/1=х?-х2+а=0,
/2= -х!+х2+а=0,
где а—вещественный параметр, +1 < а < — 1. Если изменять а в указанном интервале, то имеют место следующие случаи (рис. 9.1):
а = 1 — решений нет,
а = 1 /4 — решение единственно,
345
I
а=0 —два решения,
а = — 1 — четыре решения.
Система уравнений
= хг зт*! — х2 =0,
/2=*2-*1 + 1=0 имеет в Е2 бесконечное множество решений (рис. 9.2).
Корень х* скалярного уравнения /(х)=0 интерпретируется как точка пересечения кривой у=/(х) с осью абсцисс (рис. 9.3).
Если нелинейное уравнение записывается в виде
х=ф(х),
то корень х* такого уравнения представляет собой точку пересечения прямой
У~х
и кривой
у = ф(х)
(рис. 9.4).
\
9.1.3. Существование решения и линеаризация. Вопрос о существовании решения системы уравнений
(9.1.2) в окрестности точки (л;0, у0) решает теорема о неявной функции, известная в математическом анализе.
Теорема 9.1. Пусть функции /Д.*!, ..., хп), 1 непрерывно
дифференцируемы в окрестности точки л;0 = (л;1, ..., лг?)
/((*?, х?)=У?,
Пусть матрица
Рис. 9.4
-Ф0)-
у°\
а*/ ь п>-дХ} и невырождена. Тогда существуют непрерывные функции
*1 = Ф1, Уп). 1
в окрестности точки >’° = ()?'?, V®), обладающие свойствами
М^ЛУи Уп\ •••> г.(у1, уя))=у,
Теорема 9.1 дает подход к решению нелинейных систем уравнений, основанный на линеаризации системы (9.1.2), т. е. замене (9.1.2) на «близкую» линейную систему.
Будем предполагать, что фукции /((х1, ..., л;и) дважды непрерывно дифференцируемы в Еп. Представим левую часть (9.1.2) отрезком ряд Тейлора с центром в какой-либо точке л;0:
/<(*°)+ І ^(х°)(х;-х?)+0(\\х-х°\\2)=у?.
]=10Х]
Если отбросить в этой формуле остаточный член, то получим линеаризованную в окрестности л;0, у0 систему уравнений (9.1.2), которую запишем в матричной форме:
/(*0) + Л(*0)(*-*°)=у0. (9.1.8)
Поскольку точное решение исходной системы уравнений неизвестно, в общем случае
/(х°)фу°.
Пусть
с1еЫ(л:о)^0.
Тогда численно решаем систему линейных уравнений (9.1.8), получаем решение линеаризованной системы
х = ^-1(д:0)(у0-/(х0))+х0. (9.1.9)
347
Погрешность, численного решения (9.1.8) и погрешность, связанная с отбрасыванием остаточного члена, дают полную погрешность
(9.1.9), если принять решение линеаризованного уравнения за приближенное решение (9.1.2).
Очевидно, что погрешность линеаризации определяется числом обусловленности матрицы А(х°) и выбором нулевого приближения *°.
Грубое приближение к х° обычно получают из анализа научно-технической задачи.
Линеаризация лежит в основе итерационного метода Ньютона (см. 9.3).
В скалярном случае линеаризация эквивалентна замене нелинейной функции У{х) на линейную, проходящую через точку /(х°) и касательную к Дх) в точке х° (рис. 9.5). Невырожденность А(х ) эквивалентна условию /'(х°)^0.
