Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
По-видимому, двумя самыми простыми свойствами, которыми надо снабдить конформную структуру С(М, g), являются следующие: (М, g) является либо хронологическим, либо причинным. Пространство-время (М, g) называется хронологическим, если р ф. 1+ (р) для всех р ? M. Это означает, что (M, g) не содержит замкнутых времениподобных кривых. Пространство-время (М, g) называется причинным, если в нем нельзя указать пары различных точек р, q ? М, связанных соотношением р < q < р. Это
Рис. 1.1. Хронологическое (соответственно причинное) будущее заданной точки состоит из всех точек, которые можно достичь из этой точки направленными в будущее времениподобными кривыми (соответственно непространственноподоб-ными). В данном примере причинное будущее J+ (г) точки г является замыканием хронологического будущего I+ (г) этой точки. С другой стороны, множество J+ (q) не является замыканием I+ (q). В частности, точка w лежит в замыкании J+ (q), но не принадлежит J+ (q).
Г
9 Римановы мотивы в лоренцевой геометрии
15І
равносильно требованию, что (М, g) не содержит замкнутых не-пространственноподобных кривых.
Уже на этой стадии проявляется основное различие между лоренцевой и римановой геометриями. Из физических соображений пространственно-временные многообразия общей теории относительности обычно предполагаются хронологическими. Однако легко показать, что если Af компактно, то (Af, g) содержит замкнутую времениподобную кривую. Поэтому пространственно-временные многообразия, обычно рассматриваемые в общей теории относительности, предполагаются некомпактными.
В общей теории относительности каждая точка лоренцева многообразия соответствует событию. Таким образом, существование замкнутой времениподобнон кривой порождает возможность того, что. пересекая некоторый путь, можно встретить самого себя в более юном возрасте. Более общо, замкнутые непространственноподобные кривые порождают парадоксы, включающие причинность, и поэтому говорят о «нарушении причинности». Даже если в пространстве-времени нет замкнутых непространст-венноподобных кривых, оно может содержать точку р, для которой существуют направленные в будущее непространственноподобные кривые, покидающпе произвольно малую окрестность этой точки р и затем возвращающиеся. Такое поведение непро-странственноподобных кривых называется нарушением сильной причинности в точке р. Пространственно-временные многообразия, в которых таких нарушений нет, называются сильно причинными. Сильно причинные пространствепно-временные многообразия образуют важный подкласс причинных пространственно-временных многообразий. Для этого класса пространственно-временных многообразий топология Александрова с базисом j І+(р) П 1~(Я)'Р,Я ?: Af} для M и исходная топология многообразия связаны следующим образом (см. Кронхеймер и Пенроуз (1967), Пенроуз (1972)):
Теорема. Следуюи[ие требования равносильны:
(а) многообразие (М, g) является сильно причинным-,
(б) топология Александрова, индуцированная на многообразии М, совпадает с исходной топологией многообразия;
(в) топология Александрова хаусдорфова.
Наконец, мы готовы к тому, чтобы определить лоренцеву функцию расстояния d -- d (g): Af X Af -»- 10, оо ] произвольного пространства-времени. Если с: [0, 1 ] -»- M — кусочно-гладкая непространственноподобная кривая, дифференцируемая всюду, кроме точек 0 = Z1 <С /2 ¦<...•< 4 = 1, то длина L (с) = Lg (с) кривой с задается следующей формулой:
ft—! t,
1=1 ь 16
Гл. 1. Введение
f
V
P
Рис. 1.2. Множества вида /+ (р) П (<?)> гДе Р< 9 € M произвольны, образуют базис топологии Александрова. Эта топология всегда является по меньшей мере столь же грубой, что и исходная топология на М. Топология Александрова совпадает с исходной топологией тогда и только тогда, когда (М, g) сильно причинно.
Если р q, то существуют временииодобные кривые из р в q (очень близкие к кусочно гладким изотропным кривым), имеющие произвольно малую длину. Таким образом, точная нижняя грань лоренцевых длин дуг всевозможных кусочно гладких кривых, соединяющих две произвольные, хронологически связанные точки р, q (р < q), равна нулю. С другой стороны, если р q и р, q лежат в геодезически выпуклой окрестности U, то направленный в будущее времениподобный геодезический сегмент в U из р в q имеет наибольшую лоренцеву длину дуги среди всех непростран-ственноподобных кривых в U, идущих из р в q. Поэтому для d (р, q) естественным является следующее определение: зафиксировав р ? М, полагаем d (р, q) = 0, если q ф J+ (р); если же q t'z J+ (р), то в качестве d (р, q) берем точную верхнюю грань лореицевой длины дуги в классе всех непространственноподоб-ных кривых из р в q. Поэтому если q ? J+ (р) и у — произвольная направленная в будущее непространственноподобная кривая из р в q, то L (у) < d (р, q). Следовательно, в отличие от римановой функции расстояния лоренцева функция расстояния априори может принимать бесконечные значения. В самом деле, так называемое полностью искаженное пространство-время можно охарактеризовать при помощи его лореицевой функции расстояния следующим образом: d (р, q) = оо для всех р, q ? М. Точно так же, если (М, g) не является хронологическим и р?1+ (р), то d (р, р) = оо. Пространства Райсснера—Нордстрема, представляющие собой физически важный пример точного решения уравнений Эйнштейна в общей теории относительности, также содержат Римановы мотивы в лоренцевой геометрии
