Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Вопрос об отыскании критерия того, чтобы метрика g0 допускала выполнение требований (1), (2), (3), был решен Хопфом и Риновом в их знаменитой работе (1931). В современной терминологии теорема Хопфа—Ринова утверждает следующее.
Теорема Хопфа-Ринова. Для любого риманова многообразия (N, go) следующие условия равносильны.
(A) Метрическая полнота: (N, d0) — полное метрическое пространство.
(Б) Геодезическая полнота, для любого вектора v ь- TN геодезическая с (/) на N, у которой с' (0) = v, определена для всех положительных и отрицательных вещественных чисел t ^ R.
(B) Для каждой точки р ? N экспоненциальное отображение ехрр определено на всем касательном пространстве TpN KNep.
(Г) Конечная компактность, каждое подмножество К многообразия N, являющееся d0-ограниченным (т. е. sup |d0 (р, q): р, q ? t К\ <С имеет компактное замыкание. Кроме того, если хотя бы одно из условий (А)—(Г) выполнено, то
(Д) Любые две точки р, q, ? 1N можно соединить гладким геодезическим сегментом с из р в q, для которого L0 (с) = d0 (р, q).
Риманово многообразие (N, g0) называется полным при условии, что хотя бы одно (а следовательно, все) из требований (А)— (Г) выполнено. Следует подчеркнуть, что теорема Хопфа—Ринова гарантирует эквивалентность метрической и геодезической полноты, а также и то, что все римановы метрики на компактном гладком многообразии полны. К сожалению, ни одно из этих утверждений не имеет силы для произвольных лоренцевых многообразий.
Оставшийся вопрос для некомпактных, но паракомпактных многообразий — существование полных римановых метрик — был решен Номидзу и Одзеки (1961). Они доказали, что для любой заданной римановой метрики g0 на N существует полная риманова метрика на N, глобально конформная g0. А так как любое пара-компактное связное гладкое многообразие N допускает риманову метрику (при помощи разбиения единицы), то N допускает также и полную риманову метрику. Римановы мотивы в лоренцевой геометрии
13І
Обратимся теперь к лоренцеву многообразию (Af, g). Лоренцева метрика g для гладкого паракомпактного многообразия Af — это задание на каждом касательном пространстве TpM невырожденной билинейной формы: g \р: TpM X TpM -»-Re диагональным видом (—, +, ..., +)• Хорошо известно, что если Af компактно и его эйлерова характеристика % (Af) Ф О, то Af не допускает никакой лоренцевой метрики. С другой стороны, любое некомпактное многообразие лоренцеву метрику допускает. Герок (1968а) и Марате (1972) показали также, что если гладкое хаус-дорфово многообразие допускает лоренцеву метрику, то оно пара-компактно.
Ненулевые касательные векторы классифицируются как времениподобные, пространственнэподобные, непрост ранстеенно-тдобнь'е или изотропные соответственно тому, что g (v, у) <; О, >0, с0 или = 0. (Некоторые авторы используют для лоренцевой метрики соглашение (+,—, ..., —), и поэтому у них все неравенства приведенного определения заменяются на противоположные.) Лоренцево многообразие (Af, g) называется ориентируемым во времени, если на Af существует непрерывное, нигде не обращающееся в нуль времен и подобное векторное поле X. Это векторное поле используется для разбиения в каждой точке множества не-пространственноподобных векторов на два класса — класс векторов, направленных в будущее, и класс векторов, направленных в прошлое. Пространством-временем называется лоренцево многообразие (Af, g) вместе с выбранной на нем ориентацией во времени. Ниже мы, как правило, будем иметь дело именно с такими пространственно-временными многообразиями.
Чтобы определить лоренцеву функцию расстояния и обсудить ее свойства, нам необходимо ввести некоторые понятия из элементарной теории причинности. Если на Af существует направленная в будущее кусочно-гладкая времениподобная кривая, идущая из точки р в точку q, то обычно пишут р q, если же р — q или на многообразии Af существует направленная в будущее кусочно-гладкая непространственноподобная кривая из р в q, то пишут р с q. Хронологическое прошлое и хронологическое будущее точки р задаются следующими соотношениями Г (р) = \q t Af: q р] и /+ (р) = \q ? Af: р <t а причинное прошлое и причинное будущее точки р имеют вид J~ (р) = {q ? Af: q с р\ и J+ (р) = = \q ? Af: р с q\ соответственно. Множества Г (р) и I+ (р) в любом пространстве-времени всегда открыты, а множества J (р) и J+ (р) в общем случае ни открыты, ни замкнуты (рис. 1.1).
Причинная структура пространства-времени (Al, g) может быть определена как набор множеств прошлого и множеств будущего во всех точках многообразия M вместе с их свойствами. Можно показать, что две сильно причинные лоренцевы метрики 'l^ gi и g2 на M определяют одни и те же множества прошлого и бу- 14
Гл. 1. Введение
дущего во всех точках M в том и только том случае, когда эти метрики глобально конформны (т. е. gx = Qg2 для некоторой гладкой функции Q: M (0, оо)). Обозначим через С (М, g) множество лоренцевых метрик, глобально конформных g. Тогда из сказанного выше вытекает, что свойства, соответственно определенные через множества прошлого и будущего, либо выполняются одновременно для всех метрик из С (M, g), либо не выполняются ни для одной из метрик множества С (M, g). Таким образом, все основные свойства элементарной теории причинности зависят только от конформного класса С (M, g), но не от выбора конкретной метрики из него.
