Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Геодезическая полнота или, точнее, геодезическая неполнота играет решающую роль в изложении теории сингулярностей в общей теории относительности, и в этих рамках она была тщательно исследована. В то же время лоренцева функция расстояния, хотя она и использовалась при исследовании сингулярностей (см. Xo-кинг [(1967), Хокинг и Эллис (1977), Типлер (1977а), Бим и 10
Гл. 1. Введение
Эрлих (1979 а)), изучена не столь хорошо. Хокингом и Эллисом (1977, с. 239—241) кратко описаны свойства лореицевой функции расстояния, необходимые в общей теории относительности. Некоторые результаты, связывающие лоренцево расстояние с причинностью и глобальным поведением непространствен-ноподобных геодезических, получены также Бимом и Эрлихом (1979 б).
Уленбек (1975), Эверсон и Толбот (1976) и Вудхуаз (1976) изучали теорию Морса для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий; нами (см. Бим и Эрлих (1979 в, г)) опубликовано схематическое изложение теории Морса для непространственноподобных геодезических в произвольных пространственно-временных многообразиях. Однако сколь-либо полной разработки этой теории для произвольного пространства-времени ранее не публиковалось.
Цель настоящей монографии состоит в следующем. Сначала будут рассмотрены известные результаты по геодезической и метрической полноте. Затем мы подробно изложим свойства лореицевой функции расстояния и теорию Морса для непространственноподобных геодезических в произвольных пространственно-временных многообразиях. В заключение мы покажем, как эти понятия можно прилагать к глобальной лореицевой геометрии и теории сингулярностей в общей теории относительности.
Лоренцева функция расстояния имеет много общего с римановой функцией расстояния, но есть и много различий. Так как лоренцева функция расстояния не так хорошо известна, мы начнем с того, что напомним основные свойства римановой функции расстояния, а затем сопоставим и противопоставим их соответствующим результатам для лореицевой функции расстояния.
Всюду до конца введения мы будем придерживаться следующих обозначений: риманово многообразие будем обозначать через (N, g0), а лоренцево — через (М, g).
Итак, N — гладкое паракомпактное многообразие, наделенное в каждом касательном пространстве TpN положительно определенным скалярным произведением g0 Jj3: TvN X TvN —»- R. Кроме того, если X и Y — произвольные гладкие векторные поля на N, то функция N -+R, задаваемая по правилу g0 (X (р),
Y (р)), должна быть гладкой. Тогда риманова структура g0: TN X TN -V R определяет риманову функцию расстояния
d0: N X N -»»[0, со)
следующим образом. Пусть Qp, ч — множество кусочно-гладких кривых BNrnpbq. Для заданной с ? Qp, q, с\ [0, 1 ] —N, существует конечное разбиение 0 = tj, < 4 <••• < 4 = 1. такое, что с I Ui, является гладкой кривой для каждого І. Рима- Римановы мотивы в лоренцевой геометрии
1І
нова длина дуги кривой с относительно метрики g0 определяется по формуле
tUl _
lO (с) = S J /go(c'(0. с (t)) dt.
<=І
Риманово расстояние d0 (р, q) между точками р и q задается соотношением
d0 0о, о) = inf |L0 (с): с f Qp, q\ Ss 0.
Для любой римановой метрики g0 на N функция d0: JV X JV-f —>- [0, оо) обладает следующими свойствами:
(1) d0 (р, q) = d0 (q, р) для всех р, q ^ N\
(2) do (P, q) < d0 (p, r) + d0 (r, q) для всех p, q, r (z N\
(3) d0 (/7, q) == O <=> p = q.
Более удивительным является следующее свойство:
(4) функция d0: NxN-+- [0, оо) непрерывна и семейство метрических шаров
В (р, г) = \q Є- Л': d„ (р, q) <
для любых р f N и є > О образует базис исходной топологии многообразия. Таким образом, метрическая топология и исходная топология многообразия совпадают. Более того, согласно результату Уайт-хеда (1932), для любой данной точки р f N существует R >0, такое, что для любого є, подчиненного условию О <С є <С Я, метрический шар В (р, є) является геодезически выпуклым. Тем самым для любого є, 0 •< е < R, множество В (р, є) диффео-морфно n-диску, п = dim N, а множество \q ? N: d0 (р, q) = є} диффеоморфно сфере S'г~~^.
Выбрасывая из R2 начало координат, вычислим расстояние между точками р = (—1, 0) и q (1, 0) (R2 наделена обычной евклидовой метрикой). Имеем d0 (р, q) = 2, однако в Qpj q нельзя найти кривой с, для которой выполнялось бы равенство L0 (с) = = d0 (р, q). Тем самым гладкой геодезической, соединяющей точки р и q, в этом пространстве нет.
Поэтому естественно возникают следующие вопросы. Для данного многообразия N найти условия на риманову метрику g0, такие, чтобы:
(1) Все геодезические в N можно было продолжить так, чтобы они были определены для всех / из R.
(2) Пара (N, d0) была бы полным метрическим пространством в смысле сходимости всех последовательностей Коши.
(3) Для любых двух заданных точек р, q ^z N существовал бы гладкий геодезический сегмент С G д> для которого L0 (с) = = do (P, я)- 12
Гл. 1. Введение
Геодезический сегмент, реализующий расстояние, как указано в (3), называется минимальным геодезическим сегментом. Слово минимальный используется здесь вследствие того, что из определения риманова расстояния вытекает неравенство L0 (у) ^ d0 (р, q), справедливое для всех у v~ Qpj q. Более общо, можно определить произвольную кусочно-гладкую кривую у (- Qp, q как минимальную, если L0 (*\>) = d0 (р, q). Применяя к функционалу длины дуги методы вариационного исчисления, можно показать, что если у - QP: q минимальна, то ее можно перепараметризовать в гладкий геодезический сегмент.
