Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Книги, на которые особенно часто ссылаются авторы, в основном переведены на русский язык и изданы, что было учтено в настоящем издании: соответствующие ссылки даны на русские переводы.
Хочется надеяться, что читатели, желающие ознакомиться с современным состоянием лоренцевой геометрии в целом, найдут в этой книге много интересного и полезного.
22 января 1985 г.
Е. В. Шикин ПРЕДИСЛОВИЁ
Это книга о математической теории, которая используется в общей теории относительности — лоренцевой геометрии, рассматриваемой с точки зрения глобальной дифференциальной геометрии. Ее цель — перекинуть мостик между современной дифференциальной геометрией и математической физикой общей теории относительности, дав инвариантное изложение глобальной лоренцевой геометрии. Растущую важность такого подхода в физике можно наглядно проиллюстрировать на примере недавних теорем Хокинга—Пенроуза, изложенных в книге Хокинга и Эллиса (1977).
Лоренцева функция расстояния используется в нашей книге как универсальное средство. Кроме того, мы постоянно сопоставляем и противопоставляем результаты и методы лоренцевой геометрии с результатами и методами римановой геометрии, с тем чтобы подготовить читателя к восприятию основных отличий между этими двумя геометриями.
Эта книга написана специально для математиков, знакомых с основами римановой геометрии и желающих изучить лоренцеву геометрию. В соответствии с этим в книге используютсяябозначе-ния и методы современной дифференциальной геометрои. Для читателей, менее знакомых с этими обозначениями, мы вкмлючил-і добавление А, в котором приводятся выражения для использу^и^ мых символов в локальных координатах.
Основным требованием к читателям является практическое владение основами общей топологии и дифференциальной геометрии. Таким образом, книга окажется доступной студентам старших курсов, специализирующимся в математике, а также в математической физике.
При работе над этой книгой обоим авторам оказалась очень полезной возможность изложить часть ее в весеннем семестре 1978 г. в лекциях для студентов Университета Миссури (Колумбия). Второй из авторов в летнем семестре 1978 г. прочитал также цикл лекций по обсуждаемым здесь темам на семинаре Эрнста Pyxa по дифференциальной геометрии в Боннском университете и хотел бы поблагодарить профессора Pyxa за предоставленную 8
ЇЇредисловие
ему эту возможность. Мы благодарны К. Альбрандту, Д. Карлсону и М. Якобсу за несколько полезных бесед, касающихся вариационного исчисления и некоторых фактов из разд. 2.4. Мы хотели бы поблагодарить также М. Энгмана, С. Харриса, К- Ho-мидзу, Т. Пауэлла, Д. Рецлофф и X. By за полезные замечания по первоначальному варианту настоящей монографии. Мы признательны С. Харрису за написание добавления Г к этой монографии, а также Й.-Х. Эхенбургу за то, что он обратил наше внимание на дипломную работу Бёлтса (1977). Каждому, кто читал превосходные книги Громола, Клингенберга и Мейера (1971) по римановой геометрии или Хокинга и Эллиса (1977) по общей теории относительности, должно быть ясно, сколь многим мы обязаны этим авторам. Обоим авторам доставляет удовольствие поблагодарить Совет по научным исследованиям Университета Миссури (Колумбия), а второму автору — еще и 40-й отдел специальных исследований в области теоретической математики Математического отделения Боннского университета. Кроме того, мы хотели бы выразить признательность Национальному научному фонду Гранта MCS 77-18723 (02), контролируемого институтом повышения квалификации (Принстон, Нью Джерси), за частичную финансовую поддержку во время нашей работы над этой монографией. Наконец, нам приятно выразить благодарность Диане Гоффман, Деанне Уилльямсон и Дебре Рецлофф за терпеливое и неутомимое печатание рукописи.
Дчсон К ¦ Б им Пол Э. Эр лих Глава 1
ВВЕДЕНИЕ: РИМАНОВЫ МОТИВЫ В ЛОРЕНЦЕВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Недавние достижения в теории причинности, теории сингу-лярностей, а также в изучении черных дыр в общей теории относительности, изложенные в фундаментальной книге Хокинга и Эллиса (1977), послужили причиной возрождения интереса к глобальной лоренцевой геометрии. Действительно, для разработки теории сингулярностей потребовалось более глубокое понимание глобальной лоренцевой геометрии. Например, оказалось необходимым знать, что причинно связанные точки в глобально гиперболических подмножествах пространственно-временных многообразий можно соединить непространственноподобным геодезическим сегментом, максимизирующим лоренцеву длину дуги в классе всех непространственноподобных кривых, соединяющих две заданные точки. Добавим еще, что значительная работа, которая была проделана в 70-х годах по асимптотическому расслаиванию плоских лоренцевых многообразий семействами максимальных гиперповерхностей, мотивировалась нуждами общей теории относительности (см. Шоке-Брюа, Фишер и Марсден (1979), где приведен (неполный) список ссылок).
Все эти результаты естественно наводят на мысль о необходимости систематического изучения глобальной лоренцевой геометрии. Изложение «современной» римановой геометрии, как это сделано в любом из общепризнанных учебников (см. Бишоп и Крит-тенден (1967), Громол, Клингенберг и Мейер (1971), Хелгасон (1964), Хикс (1965)), подсказывает идею, что всестороннюю разработку глобальной лоренцевой геометрии следует вести в трех основных направлениях: геодезическая и метрическая полнота, лоренцева функция расстояния, теория Морса для непространственноподобных геодезических сегментов в произвольном лорен-цевом многообразии.
