Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Определение Г.З. Лоренцево многообразие M называется глобально гиперболическим порядка q (q > 0), если M сильно причинно, и для всех точек X и у из М, подчиняющихся условию 378
Добавление В
sup \L {у)\ Y Є С (х, у)\ < n/q, это пространство С (х, у) компактно.
Теперь можно сформулировать лоренцев аналог теоремы Топоногова (геодезические предполагаются нормальными).
Теорема Г.4 (лоренцева теорема сравнения треугольников). Пусть M — пространство-время, времениподобные плоскости о которого удовлетворяют неравенству К (сг) < Н, где H — некоторая постоянная, M глобально гиперболично или в случае H = —q2 глобально гиперболично порядка q. Пусть (Yi, Ya. Y3) — треугольник, образованный времениподобными гесдезическими, причем Ya — направленная в будущее сторона треугольника между самой далекой в прошлом и самой далекой в будущем из трех концевых течек, Yi — другая направленная в будущее сторона, исходящая из Ya (0), и у3 — оставиїаяся направленная в будущее сторона. Предположим, что Ya и у я максимальны, и если H = —q2, что Li < n/q, і = 1, 2, 3. Тогда
(а) В Mh существует времениподобный геодезический треугольник (Vi, Ya, Y3), для которого L (y?) = L1, і — 1, 2, 3, и й2 :>= а2, Ct3 Ss а3.
(б) Для времениподобных геодезических Yi и Ya, построенных в Mh таким образом, что Yi(O) = Ya (0), L (Yi) = L1, L (y2) =- L2 и Ci3 = а3, из существования времениподобной геодезической между концевыми течками Yi м Ya вытекает неравенство L (y4) < С L (Y3)-
Теорему Топоногова сравнения треугольников можно использовать для того, чтобы показать, насколько жестко может определяться полное риманово многообразие ограничением на секционную кривизну при условии, что пределы наложенных на кригизну ограничений достигаются. Одним из таких результатов является теорема о максимальном диаметре (см. Чигер и Эбин (1975, с. 110). Если полное риманово многообразие Mn удовлетворяет неравенству К (a) ^ q2 >0 для всех плоскостей а и если диаметр M достигает максимального допустимого значения n/q, то M изоме-трично сфере Sn кривизны q2.
Подобным же образом можно использовать теорему Г.4.
Теорема Г.5. Пусть пространство-время Mn является глобально гиперболичным порядка q и для всех времениподобных плоскостей а выполняется неравенство К (сг) < —q2. Предположим, что M содержит полную времениподобную геодезическую у, максимальную на любом интервале длины n/q. Тогда M изометрично односвязному геодезически полному n-мерному лоренцеву многообразию постоянной кривизны —<?2.
Изучение влияния кривизны на якобиевы поля возможно не только вдоль времениподобных, но и вдоль изотропных геодези- Якобиевы поля
379
ческих. Секционную кривизну для этого использовать уже нельзя, вследствие того что она не определена для изотропных (особых) плоскостей. Однако определяемое ниже понятие будет работать.
Определение Г.6. Если о — изотропная плоскость и N — произвольный ненулевой элемент из одномерного пространства изотропных векторов в а, то изотропная секционная кривизна плоскости о относительно вектора N, Kn (а)> определяется посредством формулы
(R (A, N)N, А)
Kn(O) :
(Л, л>
где А — произвольный неизотропный вектор в о.
Это выражение для изотропной секционной кривизны не зависит от вектора А, а зависит (квадратично) от вектора N. Эта кривизна имеет интересные связи с обычной секционной кривизной (см., например, предложение 2.3, Харрис (1979)).
Предложение Г.7. Если в единственной точке лоренцева много образия все изотропные секционные кривизны положительны, (соот ветственно отрицательны), то времениподобная секционная кри визна в этой точке не ограничена снизу (соответственно сверху) Если же все изотропные секционные кривизны обращаются в нуль то все времениподобные и пространственноподобные секционные кривизны равны. Поэтому лоренцево многообразие, размерность которого не меньше трех, имеет постоянную кривизну тогда и только тогда, когда его изотропная секционная кривизна всюду равна нулю.
Изотропную секционную кривизну можно использовать по отношению к якобиевым полям во многом также, как и времениподобную секционную кривизну.
Предложение Г.8. Пусть ?: [О, L] ->• Mn — изотропная геодезическая (параметризация аффинная), у которой T = ?'. Если для всех неизотропных векторов V, перпендикулярных Т, Kt (V/\Т) 0, то ? не имеет сопряженных точек. Если для некоторого q неравенство Kt (I7A Т) ^ q2 выполнено для всех таких V, или, более общо, если Ric (Т, Т) (п — 2) q2, mo L n/q означает, что ? должна иметь сопряженную точку.
Изотропная секционная кривизна пригодна также и для теорем типа Рауха.
Теорема Г.9 (теорема сравнения Рауха для изотропных геодезических). Пусть [О, L]-*¦ Mi, і = 1, 2, —изотропные геодезические, Ti = ?;. Пусть Vi, і =1,2, — якобиевы поля, перпендикулярные вдоль ?,-, но не всюду параллельные Ti (и поэтому нигде непараллельные Ti), для которых Vi (0) =Ou {V[, V[)o = = {V'2, Vi)0. 380
Добавление В
Предположим, что для любого t из [0, Ll и для люэых неизотропных векторов Xi в ?j(0. перпендикулярных T1, выполняется неравенство
