Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(б) Пусть Yi и Y2 — геодезические в многообразии Мн, для которых Yi (0) = У а (0), L (Yi) = Lu і = 1, 2, и a3 = а3. Пусть Ys — минимальная геодезическая, соединяющая концевые точки геодезических Yi и Ya- Тогда L (Y3) L (у3).
Оказывается возможным построить аналог этой теоремы для лоренцевой геометрии. Мы приведем здесь краткое изложение соответствующей программы, опустив все доказательства. Подробности изложены в работах Харриса (1979, 1982, с. 3—41).
Первый шаг состоит в модификации времениподобной теоремы сравнения Рауха I (см. теорему 10.11) так, чтобы она была применима к времениподобным геодезическим с сопряженным точками, но без фокальных точек. Если N — подмногообразие многообразия М, то q ? M называется фокальной точкой N для р (р ? N),
1J Написано Стивеном Г. Харрисом (Steven G. Harris), Department of
Math., University of Missouri, Columbia, Missouri. 380
Добавление В
если q является образом критической точки экспоненциального отображения ехр в нормальном расслоении подмногообразия N в точке р. Для вектора v из касательного расслоения TM обозначим через N (V) подмногообразие многообразия М, являющееся образом при отображении ехр достаточно малой окрестности начальной точки пространства, перпендикулярного v, так, что ехр в этой окрестности является вложением. Таким образом, N (v) есть (п — 1)-мерное подмногообразие, ортогональное v.
В формулируемом ниже утверждении—теореме Payxa II — и всюду в этом добавлении через А Д В будет обозначаться 2-пло-скость, натянутая на векторы А и В.
Теорема Г.1 (времениподобная теорема Payxa II). Пусть Vi — якобиево поле вдоль нормальной времениподобной геодезической yt: [О, L) ->• Mi в пространстве-времени Mi, і = 1, 2. Положим Ti =Yi- Предположим выполненными следующие условия: (V1, VJ0 =(Vt, V2)0, (V1, 7\)о T2)о, (VrjVi)(O) =0
и, кроме того, для любых векторов Xi в yt (t)
к (X1 A T1) к (X2 A T2),
и у2 не имеет фокальных точек N (у'2 (0)) для у2 (0). Тогда для всех t из [0, L ] выполняется неравенство
(Fx, ^1), ^ (F2, F2V
Важное следствие из этой теоремы показывает, как кривизна может влиять на длины времениподобных геодезических.
Следствие Г.2. Пусть yt: 10, L] -»- Mi, і = 1, 2, —две времениподобные (или две изотропные, или две пространственнопо-добные) геодезические, и пусть Ei — единичные времениподобные векторные поля, параллельные вдоль у,- и связанные условием (E1, T1) = (E2, T2) (Ti = vi). Пусть / : Ю, L) -> R — любая гладкая вещественнозначная функция. Предположим, что expv. щ (f (t) X X Ei (t)) определено для всех t из [0, L ]; обозначим его через Ci (t). Предположим далее, что для всех t из Ю, L] геодезическая i]: s і—> і—> expV2 (f) (sE2 (tj) не имеет фокальных точек N (т)' (0)) для q (0) при sc/ (/). Наконец, предположим, что для всех времениподобных 2-плоскостей Oi в Mi выполняется неравенство
К ((Ti) > К (а»).
Тогда для всех t из [0, L]
(ei, c[)t ^ (С2, с'2)t.
Таким образом, если C1 — непространстве шоподобная кривая, то этим же свойством обладает и с2, при этом
L (C1) с L (с2). Якобиевы поля
377
Это следствие делает возможной теорему сравнения треугольников для «тонких» треугольников. Модельными пространствами, используемыми для сравнения, являются двумерные пространства де Ситтера 1-го и 2-го рода (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 140—151), Вольф (1961, с. 114—118)). Треугольник (Vb V2, Vs). образованный времениподобными геодезическими, будем называть «тонким», если выполняются следующие условия. Пусть Yi и Ya — времениподобные геодезические в односвязном двумерном лоренцевом многообразии Mli постоянной кривизны Я, у которых Yi (0) = = Ys(O), L(Yi) = L1, L(Y2) =^2 H Ct3 =аа. Предположим, во-первых, что существует времениподобная геодезическая уз, соединяющая концевые точки геодезических Vl и ya- Пусть E — результат параллельного переноса y! (0) вдоль Ya- Для каждого t ? G [0, L2) существует наименьшее положительное число / (t), такое, что exp (/ (t) E (t)) лежит на Vs- Во-вторых, предположим, что для всех таких t геодезическая s<—*-exp (sE (t)) не имеет фокальных точек N (Е (t)) для V2 (t) при sc/ (t). Если эти два предположения выполнены и если V3 максимальна, а все времениподобные плоскости а в M удовлетворяют неравенству К (о) < Я, то L (V3) L (Уз).
Задача заключается в том, чтобы, взяв более общий времениподобный геодезический треугольник, разрезать его на «тонкие» треугольники, после этого применить только что сформулированный результат к каждому «ломтику» и затем сложить их вместе. В римановой теореме для того, чтобы обеспечить возможность продолжения B произвольном треугольнике (Yi, Ya1 Ya) минимальных геодезических от Y3 (L3) до Yi для нарезания первоначального треугольника используется полнота. В лоренцевом случае того же эффекта достигают при помощи глобальной гиперболичности, если Я^ 0. Однако для Я = —q2 возникает проблема: даже модельные пространства МИ не являются глобально гиперболическими; в самом деле, согласно предложению 10.8, никакая времениподобная геодезическая длины, большей чем n/q не может быть максимальной в лоренцевом многообразии, времениподобные плоскости а которого удовлетворяют условию К (о) с —q2. Решение этой проблемы содержится в новом понятии, своего рода глобальной гиперболичности в малом. Для любых двух точек х и у в лоренцевом многообразии M обозначим через С (х, у) пространство непространственноподобных кривых в М, идущих из X в у (по модулю перепараметризации), с компактно открытой топологией.
