Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
^ S(eb е) [Ric (в,, et) -^rRgiel, <?г)+ Agfo1 ег)] =
= 8n^g(eh е;) T (et, et).
Вследствие того что dim M= 4, а скалярная кривизна является следом кривизны Риччи, из этого уравнения получаем
R — 2R+4A = 8я tr Т.
Следовательно,
R = —8я trJT + 4А, (В.5)
и уравнения Эйнштейна приводятся к виду
Ric - -L (—8л tr T + 4Л) g + Ag = 8пТ. Таким образом,
Ric = 8п (Т - -Lf g + g). (В.6)
Последнее соотношение показывает, что условие Ric (у, у) ^ О эквивалентно неравенству
T (V, v)^ [(tr Т)12 — AJ(Sn) 1 g (V, V).
Отсюда вытекает, что при Л = 0 и dim M= 4 сильное энергетическое условие
Ric (у, у) ^ 0 для всех непространственноподобных у равносильно условию
tr T
T (у, V)^ 2 g (у, у) для всех непространственноподобных V (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 109)), Уравнения Эйнштейна
373
В.З. Идеальная жидкость
Рассмотрим жидкость, которая движется через пространство-время с единичной скоростью так, что линиями тока жидкости являются интегральные кривые векторного поля, образованного ее времениподобными касательными векторами v. Жидкость называется идеальной, если ее тензор энергии-импульса T имеет вид
T - - (р + р) и ® ш + Pg, (В.7)
где а — плотность энергии и р — давление, или в локальных координатах
Tij = (и + P) ViVj + Pgij. (В.8)
Здесь со - TviClxi есть 1-форма, соответствующая векторному полю V=Yp1 дідх1. Из вида тензора T вытекает, что идеальная жидкость изотропна, лишена вязкости и не имеет внутреннего трения.
Напомним, что пространство-время Робертеона—Уокера представляет собой искривленное произведение вида (a, b) XfN, где H — изотропное риманово многообразие (см. разд. 4.4). Пространства Робертеона—Уокера используются для построения космологических моделей, в которых за вещество берется идеальная жидкость. В этом случае векторное поле v задается в виде didt, и поэтому линиями тока жидкости являются кривые у (t) =--— (t, Уо), где i/o G H- Тензор энергии-импульса Г имеет требуемый вид (В.7), а функции р и р зависят только от t. Обсуждение космологических моделей Робертеона—Уокера можно найти у Хокинга и Эллиса (1977, с. 151 и сл.); см. также Мизнер, Торн и Уилер (1977, ч. VI).
Рассмотрим теперь сильное энергетическое условие в пространствах, тензор энергии-импульса которых имеет вид (В.7). Если (?, S2, е3, е4 = у} — ортонормированный базис пространства TpM, то след тензора T можно вычислить по следующей формуле:
4
trr= et)T(et, еі) = --(1і + р)+4р=--3р- p.
i=i
Применяя формулу (В.6), получим, что сильное энергетическое условие эквивалентно неравенству
T (w, w) ^ ( 3p^fi - g (w, w),
справедливому для всех непространственноподобных w. Из формулы (В.7) вытекает, что
(и f р) Isr (v, ®)]2 + Pg К «О Ss (^lii - ж)8 ^w' w^ 374
Добавление В
откуда
(ц + р) [g (V, до)]2 ^ {^JL - ?(до, до). (В.9)
Вследствие неравенств g (до, до) с 0 и g (v, до) # 0 из соотношения (В.9) вытекает, что отрицательная космологическая постоянная делает сильное энергетическое условие более вероятным, а положительная космологическая постоянная обладает обратным эффектом. Типлер (19776) провел исследование тех пространств, которые имеют отрицательные космологические постоянные. Первоначально космологическую постоянную ввел Эйнштейн ввиду того, что уравнения (В.1) с А = 0 предсказывают вселенную, которая либо расширяется, либо сжимается, а вначале этого века считалось, что вселенная существенно статична. После открытия расширения вселенной первоначальная мотивировка для космологической постоянной была отброшена. С другой стороны, исключить А из теории было^бы более затруднительным. И хотя астрономические эксперименты не в состоянии показать, что Л отлична от нуля, можно привести следующий довод: А столь мгла, что проведенные эксперименты были недостаточно чувствительными. 379 Добавление В
ЯКОБИЕВЫ ПОЛЯ И ТЕОРЕМА ТОПОНОГОВА ДЛЯ ЛОРЕНЦЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ1
Одним из важных следствий теоремы сравнения Рауха в римановой геометрии является теорема Топоногова о сравнении треугольников (см. Чигер и Эбин (1975, с. 42—49)). Пусть M — полное риманово многообразие (всюду в этом добавлении метрика обозначается через (, )), секционная кривизна которого по всем двумерным площадкам о в M удовлетворяет условию К (о) ^ Я, где Я — некоторое число. Пусть (Y1, Ya, Y3) — геодезические в М, образующие треугольник: Yi (0) = Ya (0), Yi (^i) = Ys (0) и у2 (L2) = = Y3 (La), где Li = L (Yi). Предложим, что Yz и Ye —минимальные геодезические, и в случае H = q2 (q > 0) будем считать, что Li < я/q, і = 1, 2, 3. Допустим, что геодезические Yг параметризованы ДЛИНОЙ Дуги, И определим CC3 = (уI (0), Y2 (0)) и CC2 = = (-Yi' (Li), Y3 (0)). Для треугольника (уь Ya, Ys), возможно расположенного в другом многообразии, й3 и а2 определяются аналогично.
(а) В односвязном двумерном римановом многообразии Mh постоянной кривизны Я существует геодезический треугольник (Yi, Уг, Уз), такой, что L (Yi) = Li, і = 1, 2, 3, и a2 с a2, a3 с as. Этот треугольник определен с точностью до конгруэнтности, если Я < 0 или если Я > 0 и все Li < яIq.
