Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
TTl. /я
V aI ап
ІА -^T '' • mj H"v —. я»я .....jc^e
m
ф(° ї)
JiMLL« ШиЦ пзч
-Г "Лгтъг (13)
т.
2j "^тг - -^J0ml.....я»л(дгі.....*
ftE (а)/2] 2 „ / (а. t) ml
(14)
Относительно других связей между многочленами Эрмита от одного и отцмногих переменных см. книгу: Appell, Kampd de Fdrlet и работы Фельд-гейма (Feldhelm), указанные в библиографии. Заметим, 410 обозначения Фельдгейма отличаются от наших обозначений.
Теорема сложения для многочленов Эрмнта от двух переменных была получена н работе: Koschmleder (1930а).
12.10. Дальнейшие исследования
Путем сравнения производящих функций легко показать, что многочлены Эрмита от многих переменных являются предельный случаем многочленов, определенных равенствами 12.7 (13) и (14).
— і
Iim S-2W-U---——- Hm fe), (1)
KVsJ 1»|!...«„! •
т
Jta Г 2 ^ Ш = 1 Oro (?)• (2)
Для дальнейшего изучения многочленов Эрмнта можно использовать многомерное преобразование Гаусса
V«и- /SF J '(v)expI-і*«'9)]
(3) 12.101 U.10. ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 275
(см. равенство 10.13(30), (31)). Первая из формул
**[*.<*»]-<! -^//„(уД=), (4)
^I^wi-nfs^/). (5)
= Г mHm (ij) (6)
может быть доказана с помощью производящей функции 12.8 (17) и интегрального уравнения, которому удовлетворяют многочлены ^рмита. Вторая является предельным случаем первой, а третья, которая также является предельным случаем (Я ->оо) первой формулы, дает интегральное представление многочленов Эрмита. Соответствующие формулы для Qm имеют вид
т
(7)
WuJ
*1 [°т (9)1 -Д.xP (8)
*\ [ду/]='"^^). (в)
Фельдгейм (Feldhelm, 1942) использовал более общее определение [F (9)] =
-Vwig=іJ"¦»•»(-тЗ'Я'Ь т
и изучил поведение многочленов Эрмита при функциональном преобразо*-ванин, определяемом равенством (10).
Биортогональное свойство 12.9(1) показывает, что любую функцию / ($) можно разложить в ряды по многочленам Эрмита как вида
^amGm (j), (11)
2 ьтнт (5)- (12)
m,I... mBlam = fw(S)/(s) Hm (s) dx, (13)
m,l ••• mn\bm = fw(s)/ ({) Gm (j) dx. (14)
Сходимость таких разложений была изучена в работах: Thljssen (1926, 1927) для случая п — 2 при условии, что функция / (;) финитна (то есть тождественно обращается в нуль вне некоторой ограниченной области) и удовлетворяет некоторым условиям непрерывности в этой области. Задача
так н вида При этой 276 ГЛ. IS. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЬРЕМЕННЫХ 112.4
приближения в среднем квадратичном (см. п. 10.2) была изучена Кач-чиополн (Caccioppoli, 1932а) для функций класса L1w, то есть для таких функций, что интеграл
сходится. Приближение произвольных функций в неограниченных областях было изучено Picone (1935). Mazza (1940) также изучал многочлены Эрмита и построил ортогональную систему. Devisme (1932) определил систему многочленов, которая в некоторых отношениях аналогична многочленам Эрмита. Для них производящими функциями являются
Многочлены, порождаемые производящими функциями (15), связаны с некоторыми дифференциальными уравнениями в частных производных, содержащими дифференциальный оператор 12.7(12).
(15) ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
К главе 7 *
Atreyl. R-, 1916' Philos Mag. 31, 520-528. 32, 7-И, 237-238. AireyJ. R., 1935 Phllcs Mag 19, 230—235. AIrey J. R., 1935а: PhiIos Mag 19. 236-243. А 1 г е у J. R.. 1937- Phllos. Mag 24. 52) -552. В а 11 Є у W. N.. 1929 Proc. Cambridge Philos Soc. Ї5, 48—49 Bailey W. N.. 1929a Proc. Cambridge Philos. Soc. 26, 82—87. Bailey W N.. 1930. Proc. London Math. Soc. (2) 30, 415- 421. B alley W. N.. 1930a Proc. London Math Soc. (2) 30, 422—424. Bailey W. N., 1930b J. London Math Soc. 5, 258—265. BalleyW N.. 1930c: Proc. London Maih. Soc (2) 81, 200- 208. Bailey W N.. 1932. Proc. London Math Soc. 33, 154—159. Bailey W. N.. 1935 Quart. J. Math Oxfoi d, Ser. 6, 233—238. B a 11 e у W. N.. 1935a Proc- London Math. Soc (2) 40, 37—48. BaiIeyW N.. 1936: J. London Math. Soc. II, 16—2a BalIeyW N , 1937: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 6, 241-248. B a 11 e у W. N.. 1938- Quart. J. Math. Oxford, Ser. 9, 141-147. BanerJee D. P., 1935- J. Indian Math. Soc., N. S., I, 266- 268. BanerJae D. P., 1935 J. Indian Math. Soc., N. S., 2, 211—212. BanerJeeD P., 1939: Quart. J. Math. Oxford, Ser. 10, 261-285. BasuK.. 1923: Bull. Calcutta Math. Soc. 14, 25—30.
Bateman Harry and S. O. Rice, 1935: Proc. Nat. Acad. Sei. U. S. A. 21, 173—179.
Baudoux P., 1946: Acad. Roy. BeIgique Bull. Cl. Sei. (31). 471—478.
Baudoux P., 1946a. Acad. Roy. Belgique Bull. Cl. Scl. (31), 669—681.
B я и d о u X P., 1946 Aead Roy. Belglque Bull. CL Scl. (32). 127—131.
Bell E. T., 1928: Phllos. Mag. 1, 304-312.
Bennet W. R., 1932 Bull. Amer Math. Soc. 38, 843-848.
BlckleyW G., 1943 Phllos. Mag 34, 37-49.
Bickley W. G. and J. C. P. Miller, 1946: Phllos Mag. 36, 121—133. 200-210
B 1 j I J a n, 1937: DlssertaHou Groningen.
Blrkhoff G. D., 1908: Trans. Amer. Math. Soc. 9, 219—231.
BlumenthalOtto, 1912: Arch, der Math, und Phys. 1», 138-152.
Boas R. P., 1942. Proc. Nat. Acad Scl, U. S. A. 28, 21—27.
