Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
I Zjgj
Hm (j) = Hm^.....^(Jtl.....хп) j
с помощью производящих функций
ехр [(Ce, j) — ехр|дф(ї) — ф(5 — o)j«
v, a™ і amn
-S^T<17)
exp [(a, ї) — Ф (a)] — exp [д Ф (ї) — q> (s — С" 'a) j —
., a™ і amn
-S^r-^J0-W (18)
эти производящие функции являются многомерным обобщением производящей функции 10.13(19). Во всех суммах т{, ..., тп пробегают все неотрицательные целые числа, за исключением случая, когда явно указана другая область суммирования. Многочлены, определяемые равенствами (17) и (18), имеют степень т, по переменному X1, и их (полная) степень равиа
т = /л і + ... -\-т№ (19)
Мы следовали в этих определениях книге: Appell, Катрё de Fdriet (1926, п. CXVIII)- Прн п = 1 к Cll » 2 мы получаем многочлены Эрмита, определенные в п. 10.13.
Если вычислить коэффициенты при a™i ... атп в производящих функ-
1 ft
циях (17) и (18) с помощью теоремы Тейлора, то получим формулы
Hm (S) =- (-Dw ехр Ц-ф (л)1 -— ехр[-1 ф (j)], (20)
дх^ 1 ... дхпп L л J
Gm (C1s) - (-if ехр Г-1 ф ({)1 **--ехрГ- і ф (j)l, (21)
1 J 1 ... ддгл« L J
соответствующие 10.13 (7). Кошмидер (Koschmleder, 1925) дал другое выражение для некоторых многочленов Эрмита от двух переменных в терминах частных производных. Либо (17) и (18), либо (20) и (21) можно рассматривать как определение многочленов эрмита от многих переменных
Другие обозначения в случае квадратичных форм частного вида были использованы Градом (Н. Qrad, 1949).
12.9. Основные свойства многочленов Эрмита
Наиболее важным свойством многочленов Эрмита является свойство биортогональности
f w (j) Q1 (j) Hm (j) dx -St ... б,™«,! ...*»„ 1, (1)
J 1 1 П Jt 272 гл. 12. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [12.9
где w (j)—определенная формулой 12.8 (14) весовая функция, Ьрд определено в п. 12.2 и
/ = ... +/„.
Для того чтобы доказать свойство биортогональности, заметим, что в силу 12.8(14), (17), (18) интеграл в левой части равенства (1) является коэффициентом при
."і ,"»« < V Kn .9,
/гI •*• InI т,1 "• тп\ w
в выражении
(2я)~ТД~ 2 J ехр [- j ф (j) + (в, j) —і ф (а) + (а. J) —і <р (Ь)] dx. (3) В силу 12.8 (13) выражение (3) раиио
ехр [іф (а+СБ) —J4-(B)], (4)
и в силу 12.8(12) вто иыражение имеет вид
«PK, ЬЯ-<5>
Коэффициент при (2) в ряду (5) и дает правую часть равенства (1).
Билинейная производящая функция, соответствующая формуле Me-лера 10.13 (22), может быть получена аналогичным образом. Для этого нужно вычислить двумя различными способами интеграл
Г Г Г "
(*%,..*„)-' J J ехр +P (J) --J ф (J-U-Л))+ '
+ уфОЙ——и+Я»)|лл», (6)
при достаточно малых положительных значениях tt, ..., tn, а нмешю, в первый раз используя 12.3 (13), а во второй—используя 12.8 (17) и 12Л (18) н непосредственно интегрируя. Полагая
" Jt2
Ф.(ї) = S T^-+ф Cl).
tI
Фз (ї)= 2и t,--ф (ї)'
7=1
(7)
заметим, что прн достаточно малых положительных t{, tn квадратичные формы фд (j), k * 1, 2, положительно определены. Обозначим опре* 12.9] 12.9. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МНОГОЧЛЕНОВ ЭРМИТА 273
делитель формы <pft через Aft и взаимную квадратичную форму через \|)ft (j). Мы получим тогда, что
Л Fn
= V1... tn)~l (А ,Л2Г,/г exp [I ф, (C5 + Сч) - і ф2 (Cj - C9)]. (8)
В этой форме результат был получен Эрдейи (Erd61yi, 1938а) вместе с соответствующим результатом относительно производящей функции для Hm (j) Gm (5). Таким образом, был обобщен результат, содержащийся в раооте: Koschmieder (1938, 1938а), в которой дана явная формула при я = 2, Билинейная производящая функция изучалась также в работах: Tortiat (1948, 1948а).
Система дифференциальных уравнений в частных производных, которой удовлетворяют функции Нт(%), также может быть выведена из производящей функции. Функция в левой части равенства 12.8 (17) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений в частных производных
и
V V V дР л дР п • . о
1 VdIT^ ~ 1 V^^re0' 1==1-2.....
j = l ft = 1 / = I
где Д — определитель матрицы с ^ и у^ — алгебраическое дополнение элемента Cji в Д. Разлагая по степеням щ, мы получаем следующую систему дифференциальных уравнений в частных производных для Hm (j):
V дИ V — Zd sU дхі дх, Za CikXk дх: / = 1 L 'ft = 1
— /л, ЛЯ = 0, і= I, ..., п. (9)
Дифференциальное уравнение в частиых производных
п п п
V д'гН А V дН Л „ „ i=ij=i л=і
может быть получено путем сложения п уравнений (9). Оно удовлетворяется всеми многочленами рассматриваемого вида, имеющими одинаковую степень т.
Доказательство того, что система дифференциальных уравнений в частных производных
Tt
ЪуUdB^j-^-?-+и,Л0=а .....(11)
; = і
удовлетворяется многочленами Oni(J), проводится точно так же. 274 гл. 12. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 112.10
Рекуррентные формулы и формулы дифференцирования также могут быть получены из производящих функций. При п = 2 соответствующие результаты указаны в книге: Appell, кашрё de Fdriet (1926, п. СХХП).
Существует много связей между многочленами Эрмита от одного и от многих переменных. Заменяя в формулах 12.8 (17) и (18) ° на ta и разлагая по степеням t с помощью формулы 10.13(19), получаем, что
