Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бейтман Г. -> "Высшие трансцендентные функции. Том 2" -> 77

Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.

Бейтман Г. , Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Том 2 — М.: Наука, 1973. — 297 c.
Скачать (прямая ссылка): visshietransfunkciit21974.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 91 >> Следующая


Теория многочленов U напоминает теорию многочленов V, н мы ограничимся лишь перечислением относящихся сюда формул.

Явное выражение

Us

w m



(S)wV...*,,* .... mai*h •••• *п)~ щ1 ...»,„І *

(_Щ «я і Щ і_«л S +1. 1 — Г2 Ч 2..... T' 2..... 2*2' х\

с соответствующими рядами по возрастающим степеням X1.

1)г +1 ь Г (1 - -—

Уф, S)2+!!6ро



V ••-6^m1.....т„(х 1.

тг)-

(6)

хь-

•> ха).

0)

Многочлены Ufn удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных

<1 — г2)

dxj

dU дх

dU дхк

L + xAmU—^: ' \ *=i

+ /иД1 -r*)(mU-^lXk

dU

дхь

-(s-1)

dU dxj

\ ft = і

du\ .. x*dTk )-miu

¦0, /=1.....n. (8)

Все многочлены степени m удоилетворяют дифференциальному уравнению в частных производных

я f г я

д \ dU .. „ . V .. dU

/=і 7I

= 0.

О)

которое получается путем сложения п уравнений (8) и идентично соответствующему уравнению 12.5 (14) для Vn.

Символическое представление может быть записано в виде

10 Г. Бейтмен. А. Эрдейн 266 гл. 12 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [І2Л

где к-* степень (1—г3) As понимается как (1 — г2) Д . Существует также соотношение, соответствующее равенству 12.5 (17), но оно менее важно. Аналог формулы Родрига в этом случае проще, чем в случае много-

членов Vm.



а-1

(1^)m «Iі ... «.КІ-Л 2 UUt.....тп 0*1.....*») =

, a™ „

. (-1 г (S)n



дх{ 1 ... дхп"

Кошмидер (Koschmleder, 1925) получил выражение для Ufa через частные производные по , Интегральное представление, соответствующее 12.5 (21), имеет вид

V&*ti... «П1Г и% (a) = (S)mгJd-X

S

X Ixt +Ixi VT=IiPГ' - Iza-1-Ixn Kl-IUII2Im"^. (12)

Две системы многочленов Usm н Vfa связаны друг с другом. Эта связь может быть выражена в следующих двух эквивалентных формулах:

т

(2-2^-1.-^-1) 2 FiJpJ-)-a-(i±?=i) <o>,

<13>

2« » - izzi^ (r2 _ 1 ^ = (S)m у«-*.—. (ї). (14)

Свойство биортогональности было установлено в (4) и (5). Из соотношение биортогональности вытекает также следующая связь между рассматриваемыми функциями. Определим функции Rm(s) формулой

д-1

= -г2) 2 Usm(S).

Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных

It=I

д і дЯ4-х,

+





*»1

J=I, 2,..., п, (IS)

которая может быть выведена нз (8). Легко видеть, что эта система еопря• . жена с системой 12.5 (13) дифференциальных уравнений в частных производных, которой удовлетворяют функции Vm ({). 12.7) 12.7 ПРОБЛЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ И ДАЛЬНЕЙШИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ 267

12.7. Проблема разложения и дальнейшие исследования

Свойство биортогональности систем U и V делает вероятным предположение, что произвольную функцию / (j) можно разложить как в ряд вида

а)

так н в ряд вида

J^bsmVm(S). (2)

Из 12.6(4) и (б) получаем выражение для коэффициентов этих разложений:

IzL

Kfim =J (1 -г2) 2 /(S)Vsm (s) dx, ' (S)

S

S-I

К*т =/(1 - 2 /(S) Usm (і) dx. (4)

Общие исследования этнх разложений содержатся в книге: Appell: Kampfe de Fferiet (1926, ч. II, гл. V) Более точные результаты были получены позднейшими анторамн

При изучении проблемы разложения обычно предполагают, что в формулах (1) н (2) S является положительным целым числом. Кошмидер называет ряды (1) и (2) рядами Аппеля, если s>2, рядами Дидона, еслн 5=1. Он показал, что ряд Аппеля для п переменных можно свести к ряду Дндона от л-j-s—1 переменных. Кроме того, кратные ряды (I) н (2) сводят к обычным рядам, группируя все члены одинаковой степени. Таким образом, ряд (1) интерпретируют как

OO

S Г S .....MnUml.....«„(*!.....•*/»)]; (5)

/в=0 [їв,+ ... +тп=т і я і л J

аналогичную интерпретацию допускает ряд (2). Ряды е перестанленнымн членами можно связать с разложением Лапласа функций на единичной гиперсфере в пространстве л-j-s-f-1 измерений; эта связь часто используется.

Сходимость рядов (1) н (2), расположевных, как указано выше, была изучена при п = 2, S=I в работах: CaccioppoII (1932) н KoschmIeder (1933). Каччнополн суммиронал ряды и изучал их сходимость с помощью сингулярного интеграла. Он доказал сходимость для функций, имеющих непрерывные производные. Кошмидер использовал теорию интегральных уравнений н доказал абсолютную сходимость для функций, обладающих непрерывными вторыми пронзнодными.

Случай произвольного п н (натурального) s нзучнл Koschmieder (1934). Используя интерпретацию (5) ряда (1) н соответствующую интерпретацию ряда (2), Кошмидер показал, что эти ряды являются равносходящнмися с некоторыми разложениями по многочленам Гегеибауэра. Koschmieder (1934а) также получил теорему равносходимости разложения Лапласа с рядом Фурье как рядом сраннення.

Суммируемость по Чезаро рядов Лапласа была изучена Ченом (Chen, 1928) н Кошмндером (Koschmieder, 1929). Результаты был* применены к рядям Аппеля в работе: Koscbmiedfr (1931),

10» 268 гл. И. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ [П.Т Если выполняется условие

6 > Л -f S — 1, (6)

..нкция /(S) интегрируем

а функция / (s) интегрируема в S, то ее ряд Аппеля (С, 6)-суммируется в f (j) почти всюду в 5 н во всяком случае в точках Лебега функции / в S. Если выполняется условие
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 91 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed