Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
(Y)т (Y')„ С. ?тп) =
' - J J P(х, y)-5^lrUV+'»-VVf»-i(1_^_3,)atm+»-y-v1^?<y. 1
Последовательное интегрирование по часі ям показывает, что Pmn ортогонально ко всем многочленам степень которых меньше т -J-я. И часіности,
(Ртп, ^ki)" 0, т + пфЬ+и (6) 12.« 12.4 МНОГОЧЛЕНЫ АППЕЛЯ 259
С другой стороны, путем последовательного интегрирования по частям получаем, что
/ i\m+n Am І (2 ( ) 0 У
^mn, г W {у)т (у,)я дхт дуЯ X
X J J xv+m-y ^-'(l-x-y)^*—^'dxdy =
T
Г(у)Г(/)Г(а-Ьт + я+!-у-у') nm+, дт+"?кІ Г (а + 2т-(-2л + 1) * ' дхтду» '
m л =* к -)-1,
я так как »то выражение, вообще говоря, отлично от нуля, то многочлены % тп не образуют ортогональной системы По-видимому, неизвестно ни одной ортогональной илн биортогональной системы многочленов, связанных с весовой функцией (2)
Из 5 13(1), 511 (8) и 5 9(10) можно вывести систему дифференциальных уравнений в частных производных одним из решений которой является функция
(!_*_y)a-v-v ^mB(о, Y, у, у).
Используя обозначения
дг дг д2г д2г . &г
p3xISx' г= ~5х*' t =
эту систему можно записать в виде
лг (1 - je) г - xys + [у-(2у + Y'— а -л + 1) х) р -
— (V + «) УЯ — (Y + «) Oy -I- y' — <* — т — л) г = О, У (1 -У) t-xys + [y'-(y + 2y' -в - W+ 1) у} q -
— (У + л) хр — (У + л) (YH-Yf —а— т — п) г = 0.
(8)
(9>
Если в = Y + V. то ныраженне весовой функции (2) упрощается и принимает вид
te (jf> = Jfv- У -1. Re у Re Y' > 0 (10)
Для этой весовой функции Appell (1882) р<іссмотрел две системы многочленов*
f-mn (Y. У. У) = Pmn (Y + Y\ У, V. X, у)-
-. * У__[-.V-HB-IvV1-Ht-Iz1 _Г_ члт+л1.
(Y)m(V), дхтду» УХ ' У'
т — п, у+т, У + n, Y, Yl х, у), (И)
Дмя(У> V. х, y) = /rs(Y + Y' + « + B, —и, —п, Y, У; у), (12) (13)
(14)
260 гл. 12. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 112.4
где Fi— ряды, определенные в 5.7(7). Из 5.9(10) можно вывести дифференциальные уравнения в частных производных, которым удовлетворяют функции Fmn и Emn. Они имеют вид для Fmn.
*(1— *)г —+ [у — (Y — л+1>-*1 Р— (Y+и) yq+
-f (m -j- я) (у + т) г = О, У (1 —У)і -xys + [у'-(у,-іи +1) У\Я - (Y' + ") xp +
-f- (m -f- я) (у7 + я) г О,
Для Emn:
X (1 _ JC) г - xys + [Y - (Y + Y' + я +1) X] р + + myq + т (у + Y* + т + я) г = О, у (1 - у) t — xys + - (у + Y + т + 1) у] q +
-f- пхр -f-я (у+ у' + *1 + ")
Складывая каждую из этих пар уравнений, видим, что как Fтп, так и Emn удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных
*(1 -x)r-2xys + у (1 - y)t + Iy-(у + У +1) х] р +
+ [Y,-(Y + Y, + l)yW + (m + 4)(Y + Y/ + m+fl)*-0. (15)
Это дифференциальное уравнение можно использовать для того, чтобы доказать, что интеграл
JJ хУ~1уУ-lFmn (у, Yy. У) Eil (Y, Y', х, у) dx dy (16)
г
обращается в нуль, за исключением случая, когда яі = ? и л = /. Это показывает, что две системы многочленов (И) м (12) образуют биорто-гональную систему в области (1) относительно весовой функции (10). Формула
J J X^y-1Fmn (у, х, у) Etl (у, Y, х, у)dxdy~
_ ЬтъЬд ініг-'(» + »)'Г(у)Г(у> m
— у + у' + 2т + 2я (Y)»(v')«r(Y + Y' + « + n> 11
доказана в книге: Appell, Kampe de Fferiet (1926, стр. 110, 111) Ее можно использовать, чтобы вычислить коэффициенты в разложении любой функцим в ряд по системе Fmn или в ряд по системе Emn. Двумя примерами таких разложений являются
F (V V' X v>= V (*+0'(Y+ m)»(Y' +n)l Eul-C V' JC У) (18) Гта (Y> Y . У) = *1Л(у + У+* + 0*+1 М
k+lmm + n
СО JU
(1 - JC- у)*"1 -JE <-1>Я,+" (Y + Y' + 2« + 2я) X
яі=0 B-O
(1 - X)m ^ (у)„ (у% Г (Я.) Г (v+Y* + Iti + п) ^ х vs (19)
Х-ті яі (т -ря)і і (Y + Y'+Л+ж-І-я) Етп(Y' * У) U ) 12.51 ISA МНОГОЧЛЕНЫ V 261
(Appell, Кашрё de F6rlet, 1926, стр 112, 113) В формуле (18) суммирование распространено на все неотрицательные пелые Ли /. для которых k -j- / = т п.
Относительно случая e 1, а = 2, когда весовая функция постоянна,
см. Orobner (1948, п. 5).
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ НА КРУГЕ И ШАРЕ
12.5. Многочлены V
В этом и следующих пунктах мы буаем использовать обозначения, аналогичные обозначениям гл. 11. Через
S — (*!.....х„) (1)
будем обозначать вектор с (вещественными) компонентами Jc1.....хп в я-мер-
ном (вещественном) пространстве и через
IlSlI -г -(2) — длвиу этого вектора. Двум векторам
..........«я). .................(3)
сопоставим скалярное проиаведение
(a, s) + -.. 4-а-пХп (4)
и угол В, где
cos 9--
lall Illll
(Скалярное произведение (4) авух векторов следует отличать от скалярного произведения двух функций встречающеюся в 124 (17), 126 (4) и аналогичных соотношениях) Через 6" мы будем обозначать с жничный шар || г Ц < 1 в нашем пространстве, а через dx — элемент объема Таким образом,
j/(s)ax
является сокращенным обозначением для
J ... J / (дс,.....хп) dxt ...dx„.
Будем рассматривать ортогональные многочлены в области S относительно весовой функции
(1 (1- X?-...-xlf'm (5)
Прн я 2 область является кругом ва плоскости, при л — 3 — шаром в трехмерном пространстве и при л > 3— гипершаром Многочлены
