Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Pm С*'. у'), Pm (Xr, у').....раа (х', у')
образуют систему, состоящую из п -(-1 попарно ортогональных и нормированных многочленов, которые ортогональны ко всем многочленам меньшей степени. Таким образом, многочлен pni (ах ?y, ух -J- Ьу) может быть получен с помощью вещественного ортогонального преобразования, примененного к многочленам q,u(x, у) и, следовательно, к рт (х, у). Любое аффинное преобразование (9), оставляющее инвариантным Ruw, задает для лююго п ортогональное преобразование системы многочленов
рпа.....рпп. Различные системы рпі (для тех же самых R, w, п и а, ?, у, 6)
преобразуются подобным образом. Группе аффинных преобразований (9), сохраняющих Rnw инвариантными, соответствует для каждого п группа ортогональных преобразований. Дальнейшие детали и ссылки на работу A. Sobczyk имеются в книге: Jackson (1937).
Если R— прямоугольник
a<je<J, с<У<^ (10)
И W (х, у) = U (X) V (у), то можно положить
Pal (-*. У) = Pa^l <-*) Я і ОО. ' = о, 1.....л; Л = 0. 1.....
где {рп} — система ортогональных многочленов, связанная с весовой функцией и иа отрезке (а, Ь) и, (qn] —система ортогональных многочленов, связанная с весовой функцией V на отрезке (с, d).
12.3. Дальнейшие свойства ортогональных многочленов от двух переменных
Пусть {р„1 (X, у)} является системой многочленов, ортонормальных от" носительио весовой функции w и области R и имеющих вид 12.2 (8) Дли каждого I р„1 (х, у) является многочленом степени л относительно совокупности переменных X и у, и любой многочлен степени п может быть выражен в виде линейной комбинации многочленов Pmtix, У), 0</и<л. Многие из общих свойств ортогональвых многочленов одного переменного (см. п. 10.3) имеют аналоги для случая двух переменных, хотя соответствующие формулы становятся менее простыми
В первую очередь докажем существование рекуррентного соотношения, позволяющего выразить (ах by) рп, (х, у) в виде лииейиой комбинации многочленов степеней я+'. п и " — 1 Доказательство аналогично доказательству в 10.3 (7). Для фиксированных л, / произведение
(ах+by)ры (х, у) ДО) 12Л. ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА 257
является многочленом степени я-(-1 я, следовательно, имеет вид
Я+1 т
(ах + by) рп1 (X, у) - 2 2 VrnlPm, (х, у), (1)
т=иj=О
Vm;= J J (д* + 6у) Р«г (*, У)рт/(Х, у) WiX. у) Axdy. (2)
R
Так как (я.*-Му)/>т/(.*, у) является многочленом степени от-j-l, a Pnt ортогонально ко всем многочленам, степень которых меньше степени л,
мы получаем, что
YnM = O. 0, 1, ..., л — 2. (3)
Таким образом, в разложение (1) входят лишь члены, соответствующие значениям т = п — 1, л, л 1.
По-видимому, неизвестно, какими должны быть многочлены p„i, то есть коэффициенты Ctj в 12.2 (8), чтобы полученный результат приводил к простому рекуррентному соотношению; неизвестно также, при каких условиях система многочленов, удовлетворяющая рекуррентному соотношению описанного выше вида, является системой ортогональных многочленов, соответствующих неотрицательной весовой функции (см. замечания, следующие за 10.3 (9)).
Как и в случае одного переменного, рекуррентное соотношение можно использовать, чтобы вывести соотношение, соответствующее формуле Кристоффеля— Дарбу. Если pni имеют вид 12.2 (8), то положим
л к
Kn (х, у, и, V) = 2 2 Pu С*, у) Pkt (». «). (4)
* = О Ыо
Ln (х, у, и, V) = Kn (х, у, и, V) — K„_i (х, у, и, v) =
П
= 2 Pm У) Pm (и. V), (5)
1=0
Mn (х, у, и, V, г, s) = Ln+t (и, V, г, s) Ln (х, у, г, s) —
— Ln (и, v. г, s) In+1 (х, у, г, s). (6)
Хотя многочлены р„1 определены лишь с точностью до ортогонального преобразования, многочлены (4) — (6) однозначно определяются весовой функцией w {х. у) и областью R. «Формула Кристоффеля —Дарбу» имеет вид
[(аи + bv) — (ах + by)] Kn (х, у, и, v) =
= J J (ar + bs) Mn (х, у, и, V, г, 5) w (г, s) dr ds. ф
R
Доказательство см. в книге: Jackson (1937).
Оіносительно минимальных свойств ортогональных многочленов двух переменных см. Grobner (1948). 258 ГЛ. IS. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ ОТ МНОГИХ ПЬРЕМЕННЫХ 112.4
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 12.4. Многочлены Anneля
Пусть Г —треугольник
*>0, У>0, *+у<1 (1)
а
/(*) Y-V (2)
— соответствующая весовая функция Эта аесовая функция интегрируема, если имеют место неравенства
Re у > 0. ReY7 > 0, Reo>Re(v + Y') —1. (3)
Однако многие из формальных результатов сохраняют силу и без этого ограничения.
Аппель (Appell, 1881) нвел многочлены
X дх"ду" UV+m" V +"-J (1 - y)«^+»-V-V], (4)
г
которые являются аналогами многочленов Якоби (см 10.8 (10)). Здесь, как и далее в этой главе, положено
(CI)0= 1. (а)„«а(а+1)...(а + л-1), л=1, 2,..., (5)
Г(а-П)
(a)v
Г (а)
Относительно детального изучения этих многочленов и ссылок на литературу см Appell, Kampe de Feriei (1926, гл Vi и библиография)
Из равенсіва (4) видно что Pmn является многочленом степени т -(- п относительно совокупности переменных я и у Выражение Pmn через гипер-геометрическни ряд Аипеля f, дано в 5 13(1)
Используя облаиь (1) н весов>ю функцию (2) в определении скалярного произведения 12 1 (1), получаем чю
