Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
л
вых р компонент вектора -j. Производящей функцией для этих гармоник является
Pm
(1_2а&- ... -2в^р+в?+ + 2 -
STfl, Tft . _
V--aP^m1.....mflv — (6)
где сумма распространена на все неотрицательные целые значення «,,тр. Явное выражение, а также выражение через гипергеометрические функции р переменных для функции V были получены Аппелем и Кампе де Ферье. Связь с ультрасферическими многочленами дается формулой
Y «Г* - -. *рр Vatl.....шр (Бг •' " M -
«(а?+ ... +tfcf («(7)
\ Уа* + ... +а2р /
где сумма берется по всем неотрицательным целым числам /и,, ..., тр. удовлетворяющим условию (2). Отсюда могут быть подучены рекуррентные формулы.
Введем обозначения
I1In1.....1> •••> ^m1.....m^, О,..., оО>1.....Sj» •••» bq+s-1)> (8)
где s, q = 1, 2, 3,... Можно показать, что в качестве полной системы
линейно независимых сферических гармоник степени л можно выбрать функции
... lp(h.....д. О)
где неотрицательные целые числа /, I1,Ip удовлетворяют условию
/ + /,+ ... -Wp = л (10)
в
I4 lp+1 + %р-И Ip-I I + ijp+i
= VT^WZ-ZP " V;2 4-ї2 '
к 1 — S1 — ... — Ip V ър+1 T 5р+2
Однако функции системы (9) ие образуют ортогональной системы иа единичной сфере, интеграл
//0-й- —4) 252 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
обращается в нуль лишь в случаях, когда либо
Л + ••• +1РФ mt -(- ... -^rnpt
либо все разности Ii — mi,..., Ip-тр являются нечетными числами. Поэтому было введено второе множество функций U, определяемых с помощью производящей функции
2*?' ..........Ip)"
-IOtf1+ ...+an|„-l)2 + W+ ... +®Э(1-І?- ... -S2p)f (12)
Эти функции являются сферическими гармониками в (/> + /+1)-мерном пространстве. Функции U vi V образуют биортогональную систему, так что имеет место равенство
//о-й- ...-srikjVI;...,......,«-а
в г г
за исключением случая когда Ot1 = /,, ...........Otp-Zp. Таким образом,
функции U можно использовать для того, чтобы найти коэффициенты разложения функции Hd гиперсфере н, в частности, выразить через функции (9) все сферические гармоники данной степени.
Многие другие результаты, касающиеся функций U н V, в частности дифференциальные уравнения в частных производных, выражения через обобщенные гнпергеометрнческне ряды Лаурнчелла и разложения в ряды функций по функциям U и V, см в книге Appell, Kampe de Fferrfei (1926).
Обобщение функций VJg т на значения I, отличные от натуральных і* "*' р
чисел, см. в книге A Angelescu (1916).
Обобщение сферических гармоник, связанное с операторами, отличными от оператора Лапласа, было изучено и работе: М. Prolter (1949). ГЛАВА 12
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ от многих ПЕРЕМЕННЫХ
12.1. Введение
Пусть R—область в л-мерном евклидовом пространстве и X1, ..., х„ — декартовы координаты в этом пространстве. Обозначим через w (х)= =® •••, хп) неотрицательною весов} ю функцию, определенную в R. Для любых двух функций / (X1.....Xn) и g (.JC1.....хп) положим
(/. S) = Г • • • Г / (*1.....Xn) g (Xi.....х„) w (Xi.....хп) dxx ... dx„ (1)
и назовем это выражение скалярным произведением функций / и g. Оно заведомо определено, если функции fug orifejej.eHbi в A в интеграл (1) существует. Две ф}нкции называют ортогональными (относиїельно веса w), если их скалярное произведение равно нулю
Пусть задана весовая функция и любая последовательность линейно независимых функций i|,, i|2,..., таких, чіо определены все скалярные произведения (ф(, ij^) Тогда к этим функциям можно применить описанный в п. 10.1 процесс ортогонализации относительно скалярного произведения (1) с)тот процесс приводит к ортогональной системе функции, каждая из которых однозначно определена с точностью до постоянного множителя Если функции занумерованы несколькими индексами, то процесс ортогонализации должен быть несколько изменен Прежде чем применять его в этом случае, необходимо преобразовать множество функций в обычную последовательность. Каждому возможному упорядочению соответствует орюгональная система, причем, вообще говоря, различные упорядочения приводят к различным ортогональным системам Таким образом, если множество функций занумеровано несколькими индексами, то мы не можем, вообще говоря, однозначно определить орюгональную систему Кроме того, во многих случаях преобразование в обычн)ю последовательность нарушает симметрию существующую в исходной системе функций Ilo э і им причинам часто предпочитают для заданной системы линейно независимых функций
^m1.....тп(ХІ' •••• *„)}¦
занумерованных несколькими индексами, построить две системы
{ЧЦ.....та(Х 1..... 254 гл. 12. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ OT МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ IlM
биортогочальные друг другу, то есть такие, что интеграл .4
(ф . X . Л
\ mI.....¦» "fr ¦••• яп)
обращается в нуль, за исключением случая M1 « т[ т2 = т'%,..., тп = т'п. Биортогональные системы дают большую свободу выбора, которую можно использовать для сохранения симметрии
Мы применим эти замечания к ортогональным многочленам от нескольких переменных Для того чтобы ортогонализовать множество одно-чіенов
