Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
и ноложим
4= P=IHIl. (2) ІЇЛ| . НА СЛУЧАИ р-2. 4<в. р)-(о+1Р 245 Введем векторы
U- (i — its, —it —is, —/ -HS. I -и«). (3)
В— (і —па, — JT — ia, — т+о, 1+то). (4) BJtfl которых выполняются соотношения
(u, u) = (о. о) - 0. (и, Ъ) - 2 (1 + ft) (1 +- ет) (5)
Из соотношений (5) находим, так же как это было сделано в a IlAll что (і 4- 0" mHoi очленов //*'' (р), определяемых равенством
П /
(U. g)»- ^ (6)
к 1ш О
являются гармоническими многочленами степени п.
Ie же рассуждения, что ива і 1.5.2, показывают, что
J (U. П)" (О. Л)" a.. (Tl) - »>"• (7)
іч)
І,
Таким образом, сферические гармоники
Skn '(M) = P-nHkn' '0» (8)
образуют ортоговальное множество, состоящее из А (л, 2) = (п 1)* линейно независимых сферических гармоник, удовлетворяющих соотношениям
О, к Ф к' или J ф I',
J Js*'' (л) Sf''' (Л) du.
(9)
.J —ГТІ ,1/1,1. K=K , ( — (.
Из соотвошения (6) вытекает также, что
Si' (л) - sr*' (Л). (W)
Дав того чтобы найти явное выражение для Sn'введем числа a, b, е, d: a = y4 + iy„ b — yt—iy* с —— у,—/уь d = yi—iyl. (11)
Тогда
P-Il4II-Korf-be, (w, i»)-<x + 6s + (« + rfs)*, (12)
и мы получаем из (6), что
2 Hn'' (ц) S1 = (a + bs)n~k (с + А)» (13)
1 = 0
'I+)
Н*п- (W = 2^7 J V + bs)n~k (с + ds)" S-1'1 ds. (14) 246 ГЛ. П. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ IMJ Полагая
а + И /1Л
0О= Od-H (16) и выражая а, Ъ, с, d через у{, получаем
(в.+)
""(П ¦»»
где O0 определяется равенством (16) В полученном равенстве можно выразить 1-ю производную через гипергеометрическую функцию (в данвом случае являющуюся многочленом Якоби), и окончательный результат принимает следующий вид (см. 2.8 (27), 2 1 (2), (1) и (2)). Если я > k -f-1, то
S*' '(I) - Р-Й* ' (tt - (-Dft( "7*) Cn4 + Al1)"-*-1 (rI3 + V1X
ХЛ(-А «—/+1. «-» — /+І; ЧІ + Ф (19)
- (-1)* (л« + 'П.)"-*-' (% + X
ХЯГ^-^ + пІ-^-ф (20)
Если л < k -J- /, то
SS'' (ч> - р-я*' («Й - (-I)"-' (.1/)(?- (?- V* X
ХЛ(/-в,/+1;1+*-« + 1.п{+пО (21)
- ' (9) - (-I)""' (П4 - - /?)'-* X
X PW - * ¦'* W-+ 4 - li - Tg), (22)
где P1IZ'^ обозначает многочлен Якоби (см. гл. 10)
U полярных координатах выражения (20) (22) для S*'' принимают довольно сложный вид, и в »тих координатах лучше использовать функции 11.2(23) для частного случая р = 1 Но для преобразования сферических гармоник весьма удобны функции S*'1 (прн четных значениях л) эти функции, кроме того, удовлетворяют некоторым соотношениям, ие имеющим аналогов в случаях, когда рф 2. Эти соотношения (которые будут доказаны в п. 117) имеюі следующий вид (мы записываем их для функций /?' BMetio (23)
1i.7| 11.7. ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК 247
Пусть t1, j—два четырехмерных вектора, и пусть to —вектор с координатами
®1 = У 1*4 + У 4*1 — У 2*3 + Уз*8> W2 — У 2*4 + У 4*2 — У 3*1 + У 1*8' ®з = У 3*4 + У 4*3 — Уі*г +Уг*1, ®4 = У 4^4 — У 1*1 — УЛ — у»*».
Если использовать кватернионы (см. Курош А. Г., 1965, гл. 4), то вектор можно представить в ввде
W4 + Iw2 +;ш, + = (z4 + Iz2 + Jzb + Iezi) (у4 + Iy1 +/у, + Ayt). (24)
где 1, i, J, k — основные единицы. Тогда имеет место теорема сложении
2л
Я& '(to) = 27?"1 (0 1 (*>• (25)
Я»=0
Определитель матрицы
[#*•'(<»], к, / = 0, 1,...,2л, (26)
где А—индекс строки, а I — столбца, равен
(yl + yl+yt + yT2a+1)- (27)
Характеристические числа этой матрицы имеют вид
КАП~т> я» = M.....2л, (28)
где Я.1, X2 являются коривми уравнения (см. (4))
І а—\ Ь I я
I с «-яН' »
След этой матрицы равен
2л
2 = «от rMt)' (30)
где T$n+\ означает производную многочлена Чебышева 11.1 (20).
11.7. Формула преобразования для сферических гармоник
Пусть 5 — трехмерный вектор, ар — четырехмерный вектор. Мы будем применять обозначения
IlSlb = T, Il 9ІІ4 =р. 5 = у. T1=I. (1)
Покажем, что любое ортогональное преобразование О в трехмерном пространстве ректоров j, определитель которого равен +1, можно однозначно описать с помощью единичного вектора щ. Если det О = +1, то существует такрй вектор Ф 0 (ось врашения), что 248
ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
Преобразование О однозначно определяется заданием вектора Jfo и угла вращения Так как —J0 также является осью вращения, то можно выбрать ?о так, чтобы выполнялось неравенство 0 ^ я. Если ф равно нулю, то любой вектор Jf0 является осью вращения, и в »том случае мы положим jo = 0 Поскольку вектор J0 определен только по направлению, мы можем, ие теряя общности, положить, что
Il So Из = Sln-!, °<*<"-Тогда компонентами Xltt,, Xtl г, Xt,» вектора J0 будут JColi = CoSOlSln-I, /—1,2,3,
где через Oj обозначен угол между ОСЬЮ вращения И ОСЬЮ Xf. Определим теперь четырехмерный единичный вектор
(3)
^COS Ct1
It
slnT'
COS Ct2 sinCOS O3 Sln , COS
и положим Xj = pt). Тогда ортогональную матрицу О можно записать в виде О - <у4У - А) (у J + A)'1 = Ar (р*/ - 2ytA + 2А*) -
<4>
иде <8)
J_ Pi
Л + Я-Л-УЇ 2УіУа-2УзУ4 2уіУз+2у2у4 2УіУг + 2УзУ4 У4 + У* ~ У і ~ Уз ЇУтУз - 2УіУ4 2У іУ3 - 2У2У4 Ъдъ + У4 + У3—Уі-Уг
