Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
где интеграл берется по всей поверхности единичной сферы SL Оно может быть доказано следующим образом. Введем вектор
о»(—2s, I-S2, і+ Isi) (8)
И рассмотрим интеграл
//(«, ?)»(*, O"«U2(&). (9)
9 242 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
Этот интеграл является ортогональным инвариантом от и и Ъ (см. доказательство леммы 4 в п. 11.4). В силу леммы I этот интеграл является много» членом от (ц, ц), (b, Ь) и (и, Ь), и, поскольку (и, и) = (Ь, В) = 0, иніеграл (9) отличается лишь постоянным множителем от (и, Ь)л. Подставляя в интеграл (9) разложение (2) для (и, §)" и соответствующее разложение для (в, S)", получаем, что л
(*«)" 2 tlsm J J S1n (I) S™ (l)dQ-n (W, ЇЇ)" - |і2л (1 + st)2a. (10)
l, m=~n Q
Значение постоянной ц можно вычислить, положив 5 / = 0 а
I = (CosQ1SineCoSffSinOSinf)l dll = sin О dd d<f. (11)
Это дает
* 2я Г І -і 1 л!
Г t
2«ц= I dq> I d% (sin 9)2в+1 = > . (12)
о u ГГ + "2)
Сравнивая коэффициенты при I1Sm в обеих частях равенства (10), получаем (T).
Для того чтобы получить явное выражение для Sn (|), применим к (2) формулу Коши Мы получим (?+1
я» " Ш J (и- 5)Л d* -(0+)
^-Щг^- J [(' +Al-^^^l"'-----<13>
Если положить
. j JTj ^ Х\ ^
X2-IXi "" ^ Xt-tXt
то получим Ч
(в+)
нц (ї) = (2л/)-1 (IX,-X2)" J [x2-r2 (X2-IX3)-2Y (т - о)-»-™-1 dx - (14)
(п -J- от)!
, т jn +т
г" Ixi-Ix3Vn d" + m , 2у, X1
Если определить присоединенные функции Лежандра Р" (х) равенством
(16)
SL dn+m
К M - (-0"+ m2-"(n I)"1 (1 - X2)2 -^TST (1 - хТ. (17) /п = Оі, ± 1, ..., ±л,
то получаем, что
S? (?)« г-й? (j) -<-l)n+m -^plyf (І2 - Oa)" (1 - Й)" Р? Gl) (18)
Для соответствующих функций в сферических полярных координат« IWI ИЛ СЛУЧАЯ Р— I, к (я, р)—2я+1 243
(см. п. 11.3) имеем
К™ (O. ф) - SZ (і) = (-1)Л+'Я {п±П{т)! е-,п"П>% (cos O). (19) В силу (3) и (18) получаем
P-"1 1х\ = f_hm w)' р™ (х\
Теорема сложения для функций PJj* (*) дается равенством 11.4(8). Соотношение ортогональности (7) дает +1
Из (2) получаем производящую функцию
—і л 2п
[l — s< cos о -^ (1 — ^) sin е]" -J] 2жР»"В(сО80)8ЯЛ <2і>
Л=0 ft=о
Другие свойства функции Р™ см. в п. 3.6.1.
И.5.2. Теория полюсов Максвелла. Пусть X1, хг, X3 — независимые переменные, г = VA + х2 + х& н пУСть дифференциальный оператор Dk определяется равенством
Dk = к = 1,2,3. (22)
Так как
^ = (D\ +D22 +C^f1=O, (23)
то очевидно, что О?DbiD^r'1 удовлетворяет уравнению Лапласа. Кроме того, ясно, что это выражение имеет вид однородного многочлена степени /1 = 0 + 6 + с, умноженного на г'2"'Наконец, можно проверить, что для любого однородного многочлена Hn степени п утверждения
AHn = O и Д/Van-1 =0
эквивалентны. Таким образом, мы получили, что
DaiDlDlr'1 = Hn (X1, X2, Jc3) Г'2"-1, п = а + Ь+с. (24)
Из этого замечания вытекает, что каждому однородному многочлену степени я от трех переменных D1, D2, D3 таких, что
D\+ D22+ D23 = 0, (25)
соответствует гармонический многочлен OT JC„ JCj, JC3 степени я. Если сравнить это утверждение с замечанием, сделанным после формулы 11.7 (12), то представляется весьма правдоподобным, что все гармонические многочлены можно представить в виде (24) В самом деле, можно показать, что (см. Гобсон, 1952, гл. 4)
ОГт (Di ± iD3)m± = (~1)Л"г"Й~т)' **<тфК (cosв), (26)
т = О, I.....л,
где
Xx = г cos O, JCa = г sin 8 cos ф, Xt = г sin 8 sin ф. (27) 244 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
В силу (19) это показывает, что все сферические гармоники могут быть представлены в форме (24).
В силу геометрических соображений сферические гармоники в (26) называют зональными, если m = О, секториальными, если m = я, и тессе-ральными, если 1 < т < я—1. Относительно этого и дальнейших замечаний о результатах Максвелла см Гобсон (1952) и Максвелл (1873, 1892). Пусть
1I* = (aft' h> Y4). 1. 2, ..., л, (28)
являются единичными иекторами, которые, таким образом, определяют точки иа единичной сфере. Эти точки мы буДбМ называть ПОАЮСйМИ• тогда Сфбри* чєская гармоника степени п с полюсами ijjk определяется равенством
Se(?)- (-1)"/-+' [n№ + ?*D2 + Y*O3)] (29)
Вводя л нараметров tu находим, что это выражение является коэф-
фициентом при ti ... tn в разложении функции
Iir^Sfifw], (30)
где
л
Htl' (31)
k, I= 1
причем сумма в (30) берется по k = 1, 2, ..., л. Это выражение являетвя функцией от косинусов углов между векторами Ti1, ..., r)ft Стандартные сферические гармоники (26) получаются, если векторы Tjft совпадают с координатными осями.
Van der Pol (1936) и Erdfelyl (1937) распространили выражение (26) иа решения волнового уравнения Д» -f- №и = 0. Они показали, что
1"~т У w j і (^) к («* е>еШч -
где обозначает т-ю нроизводиую многочлена Лежандра Ря, a P® определяется формулой (17), J і обозначает функцию Бесселя первого рода
»+7
норядка n+4"> а r> Ф> xI' хь хз связаны соотношениями (27).
11.6. Случай р = 2, h (я, р) = («-J- I)2 В этом пункте мы будем обозначать через g четырехмерный вектор 4= (Уі» Уа> Уъ> У«) (1)
