Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
р_
IjfHifCn2 [(1,0]. Отсюда следует лемма 4. Мы можем определить множитель А (л, р), положив
| = ;=(1, 0, 0).
Отсюда получаем
Л(л, p)cf( 1) J [cj (X)] (1 -x4"-l)?dx, (17)
-1
где через а>' обозначена площадь поверхности гиперсферы в (р 1)-мерном пространстве. Из 3.15(17), 11 1 (26), 11.1 (29) и 11.2(2) получаем (16)
Мы можем теперь выяснить, как действуют на сферические гармоинки Ортогональные преобразования переменной §. 11.4) 11.4. TfcOPEMA СЛОЖЕНИЯ 239
Лемма 5. Пусть S1n(Z). I — 1,2, ..., Л, образуют полную систему ортогональных сферических гармоник степени п, для которых выполняется условие (1), и пусть О — некоторое ортогональное преобразование в (р 4- Iyмерном пространстве Тогда имеет ліесто равенство
S1n(Ol) - 2 SibSknQ,). (15)
* = 1
где матрица Gch' элемента >и g[k является ортогональной Mampw цей, содержащей h=*h(n р) столбцов, то есть
G'u — OO' — і. (1?
Здесь Q'—транспонированная матрица О м /— единичная матрица порядка h (п. р).
Доказательство Так как оператор Лапласа инвариантен относительно ортогональных преобразований (см n 11 1) ю S1n (0|) является сферической гармоникой степени п и, следовательно, может быть, в снлу (15), выражено через полную систему Sn (|)
Так как интеграл в левой части равенства (1) остается инвариантным при замене ? через 0|, то функции Sn(Oj) также образуют ортонормиро-нанную систему, а потому QO' = / Но хорошо известно, что тогда мы имеем также О'О = I
Для доказательства теоремы 4 достаточно показать, что
А А
2 Si (6) S1n (Л) = 2 5» (°6> s'n (°Ч) (20)
1=1 і = і
янляется ортогональным иннариантом от ? и т). Это вытекает из леммы 5,
в частности из равенства CiCi' У Из доказательства леммы 4 видно, что
р_
выражение (20) отличается от Cn2 |(|, т))] лишь постоянным множителем. Этот множитель можно вычислить, интегрируя квадрат выражения (20) по г) по всей единичной сфере U Принимая во внимание равенство (1), получаем, что результат интегрирования равен
2 K(S)P- (21)
i«l
С другой стороны, полагая в равенстве (12) g — ц, убеждаемся, что этот
р
интеграл равен cj (1), умноженному на некоторый постоянный множитель. Ин.егрируя (21) по Q(I) и принимая во внимание (1) получаем значение А. Это в силу (2) приводит к теореме 4
Из георемы 4 мы получаем, что для любой сферической іармоники Sm (?) степени т имеет место равенство
я
р_ і пф т,
Cn 10. 4)1 Sm (S) da (!) - , . 4 (22)
(т)с» 0)^(4). . 240 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ .МНОГОЧЛЕНЫ Ill4S
Из леммы 2, в частности вз равенств 11.3(8), 11.3 (11), получаем в сил; неравенства Шварца, что
ton f[ {Г KS- ті)] - ф„ 10, ц)]} Sn (o du (6) - О,
ЯН.со J J
О №)
где F н фл определены в п. 11.3, 11.3 (8). Комбинируя это соотношение с равенством (22), получаем (ср. Funk, Hecke, 1916, 1918):
Теорема Ф у н к а — Геки е. Пусть F (х) — функция вещественного переменного х, непрерывная на отрезке — 1<jc<1, и пусть ?„(?) — любая сферическая гармоника степени п. Тогда для любого единичного вектора т) имеет место равенство
J J F [(S1T1)J Sn(6)-?(г|), . (23)
Q (1)
где интеграл в формуле (23) берется вдоль всей поверхности единичной гиперсферы Q, и где
г ± S=I
К--1- J F (X) Cl (X)O-JfiO 8 dx. (24)
Cj (1) -1
Здесь через и' обозначена полная площадь поверхности единичной гиперсферы в (/>•+¦ 1)-мерном пространстве.*
'"WY си"***=""
ErdfeIyl (1938) доказал также, что достаточно предполагать интегрируемость по Лебегу функций \F (х) \ к \F (х) |г на отрезке — 1 < х < 1, и показал, что
р оо р
I +JS- -JL
і»(2я) Т f t 2 J (t) / (0 dt,
•GB
где
я+т
/(0-=?- J e-MF(x)dx.
-і
Здесь через У обозначена функция Бесселя. Заметим, что
/ р\т
JL » р 00 I ——1
Г2У ~22 1 4}
является однозначно определенной функцией OI t. 1L6| IIA СЛУЧАЯ рші, *<Я, л)-2п + 1 241
11.5. Случай р= 1, й(я, р)«=2и-Ы
11.5.1. Производящая функция для сферических гармоник в трех« мерном случае. Обозначим через
Ї = ** xs) (I)
вектор с тремя компонектами. Определим многочлены H™ (j) формулой
[х2 + Ix3 - 1xxt - (х2 - ix3) t2]a = t" J] Н'пп (s) tm. (2)
тш—а
Подстановка t — — 1/t показывает, что
(3)
где черта обозначает комплексно сопряженный многочлен. 'Левую часть равенства (2) можно записать в виде (u, j)", где
и = (— 2t, 1 — t2, і -J- it2). (4)
Так как (и, и) = 0, то получаем нз 11.1 (14), что обе части равенства (2) прн всех значеннях t удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому H™ (j) является однородным гармоническим многочленом степени п. Линейная независимость многочленов H™ вытекает нз алгебраической независимости
Xi + iX3, —2XU — (X2-/JC3). f
Положим г — И j 1 I —= у. Тогда функции
г~аН™ (5) = SJ (I), т = 0. ± 1..... ± я. (5)
образуют полную систему линейно независимых сферических гармонии степени а. Из равенства (3) имеем
V(?> = (-i)mS?tt). ?8)
Справедливо соотношение ортогональности
0, тфт',
J J SZ(I)^" (t)dQ.
Г
2л — Г
&u (7)
я, т' -ш 0, ± 1.....± л,
