Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
11.4. Теорема сложения
р_
При фиксированном Tj сферическая гармоника Сл2 [(?, т])| может быть выражена через Ь (/я*, ±; |), где т0 — п. Имеет место более общее утверждение
Теорема 4. Пусть S1n(|), / = 1, 2, ..., ft, — система, состоящая из h~h(n, р) линейно независимых вещественных сферических гармоник, степени п, и пусть система S1n ортонормальна на О, то есть при I, т = 1, 2,..., h выполняется соотношение
{/«».:«>-{* Z It:
Тогда для любого фиксированного единичного вектора т| имеет
'(DSs^w- (2)
P
cj [(1, 4)1
Cj(I)
Обозначения те же, что и в 11.1(11), 11.1(12), 11.2(2), 11.1(16).
В качестве частного случая разложения (2) получаем из теоремы 2
TT 1 Dffl vi є (т0)
cI 1(5. DI - 2 WTW 1 -Nuk W {т*' 0 " +
+ H (тк. -¦ I) H (тк, -Ь п)], (3>
где сумма берется по всем целым значениям лг*, таким, что л«пц> >Wi> ... >)Ир>0, и где
6(0) = 1, е(лі) =• 2, лГ>0. (4)
Из 11.2 (21) получаем, что S (тц, ±; ?) обращается в нуль, если послед-кие р +2 — I компонент вектора | равны нулю, то есть если
fci+1 "" li+S ••• ifi+i = О, 236 ГЛ. II. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ 111.4 за исключением случая, когда
= ¦•¦ = ""„-О-
Следовательно, если положить в формуле (3)
g— (cosp, Slnp, ft, .... 0), т)-в (cosо, slno, O1 0), то получим, что при P > 1
T jT г (/> -1)С/-,у8т
Cn (cos P COS о t Slnp Sln а) - Cb |cos (р — а» --. , -X
rITli(T)
л —j P „, P
X 2 B».m(8,nP)'"C»-« (cosp)(Sina)wC^m2 (Cosa).
(5)
m-0
где
Ir(mH)]'
Если положить н (3)
g = (cos a, sin з cos р, sin a sin р, 0, ..., 0), ті —(cos ?, sin р cos о, sinp slno, 0, .... 0),
то получим из (5) при р> 1 и р—0 -» ф
р
С * (cos а соз ,1 -f sin a sin P cos ф) = 1 ^ X
[г (т)]
л P P
У 2 " (8|пвГ сГ-J (cosa) (SinP)mC^+J (Sinp)CP-1^(cos ф), (7)
«•о
где ?„, т задается формулой (6). При р ** і имеем
Pn (cos a cos р -f- sin a sin ,i cos ф) — Pn (cos a) Pn (cos ?) +
л
+2 2 ?+51p« (cos «>p" (c°s p) c°s «Ф. ®
m-0
где (
Pa(X)-Cj(X) (9)
являются многочленами Лежандра и
— т -
Р? (*) - ^yf-г (m +j) 2" (1 - X2) 2 (ж) (10)
—присоединенные функции Лежандра. IMl ИЛ. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 237
Обычно формулу (7) или в случае р = 1 формулу (8) называют теоремой сложения для ультрасферических многочленов. Мы можем получить равенство (3) (но не теорему 4 во всей общности) путем посленова-тельного применения равенств (7) и (8). В модифицированной форме соотношения (7) и (8) остаются справедливыми н для общих функций Cn, где 2v уже не является обязательно целым числом (относительно этого см.
з.15(19) и 3.11 (2)).
Доказательство теоремы 4 основано на том, что Cb2 [(g, ц)] является ортогональным инвариантом от | и т) (определения см. в п. 11.1.1). Мы
докажем сначала, что с точностью до постоянного множителя Сд2 [(?, т|>*| является единственным инвариантом среди сферических гармокик степени л. Для этого нам понадобится следующее утверждение:
Лемма 3. Пусть F (j, ц)—многочлен от компонент і и ц, и пусть
F{0S, Ox))=*F(?,® (И)
для всех ортогональных преобразований О (см. п. 11.1.1). Тогда существует многочлен Ф (в, v. to) от трех переменных и, v, w такой, что
F (S, Ч) = Ф [(ї, ї), (?. 9), (* 4)] (12)
тождественно относительно компонент ; к ?.
Доказательство. Если j и ц фиксированы, то можно выбрать такую ортогональную систему координат, что
S = (а, 0, 0, ..., 0), t> = (?, у, 0.....0),
(I. S) = aJ. (S, Ч) = a?, (5, 4) = ?2 + YJ
и, следовательно,
а = У и, ? = -^=-, у*=—Vuw-Vі. Vu и
Так как F является ортогональным инвариантом, то его можно записать как многочлен
F-F* (а, ?, Y) = ^/«, -Lyuw-v*^
от a, ?, у- Из существования ортогональных преобразований, при которых а-* — а, ?-> —?, Y~>Y
или
а-*а, ?->?, Y->—Y.
вытекает, что F* является многочленом от у2« «s. ?J» a?, и потому можно записать F* в виде
Ґ = и~тФ* (и, V, W), (13)
где т — целое число и Ф*—многочлен OT и, V, W. Меняя ролями ; в ц, получаем, что
W~* Ч> (и, v. Wj =и~тФ* (и, V, w), (H) 2J8 ГЛ. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИПЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛННЫ UJ.4
где k — целое число и 1F — многочлен. Так как и, v, w алгебраически независимы, из (14) следует, что и~тФ* является многочленом Это завершает доказательство леммы 3.
Лемма 4 Пусть |, rj, J—любые единичные векторы в (р + 2)-мер-ном пространстве Тогда
//
Л, А
Cn КБ. Ч)] cj |(ri, 6)] du (Г)) « А (л, р) Ся2 [(6, OJ1 (15)
О (г»
где
р 1+4
А (л, ,) - Cj (1) - , 2"х /яХ. (16)
л(л,/?) hivay
Лемма 4 имеет характер теоремы о свертке для основных сферических гар-р_
моник Cn2 [(6, г))].
Чтобы доказать эту лемму, возьмем любые два вектора j и 4 и положим
ш* ^m- Так как функции
р_ р
IsfCn2Uin)], иг cj Г(п, Q]
являются гармоническими многочленами, зависящими соответственно от компонент j н j, то произведение левой части равенства (15) на норму ||j|H|jf является гармоническим многочленом как от j так и от j, имеющим по каждому множеству переменных степень п Кроме того этот гармонический многочлен является ортогональным инвариантом от j и j, поскольку он остается неизменным при одновременном ортогональном преобразовании І, і и і) (и, следовательно, ? и ті), а интеграл остается неизменным при любом ортогональном преобразовании переменной т] Таким образом, в силу леммы 3 наш гармонический многочлен является многочленом от ||jf, ІІ8ІІ2 н (ї. і) = її Il IlSlI (?> і)- Таким образом, в силу леммы 1 это выражение является кратным
