Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
где A = O1 1...... и г0 = г. Тогда функции
H(лі*, ±; s)mtH(л, ти л*р-і. ± *і,.... •*>+*)"
-±И1 P-I в А
у ft-0
образуют полную систему ft (л, р) Линейно независимых гармонических многочленов степени п. Разумеется, H (тц, +; $) =// (m^, —; $), еся» лі- = 0.
Следствие. ? гиперсферических полярных координатах 11.1 (7) имеем
H (mk, +; s) - г» Г (ж* Є*. ± Ф), (22)
где
кw 0А,±Ф)=е±іт"ф fiV0*+1)m*+i (fteW «
11.3. Сферические гармоники
Если Hn (с) является однородным гармоническим многочленом степени л, то будем называть функцию
г~"Н„ (j) = Hn (I) = Yn (9, ф) (1)
сферической гармоникой степени л. Здесь мы пишем 9 вместо O1, ,.,,Qpr
j*
а через і вновь обозначаем у. Сферические гармоники являются одиозна^- 11.31 ИЛ. СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ 233
ныии непрерывными функциями на Q (единичной гиперсфере г =¦ 1). 3 частности, из 11.2(22) и 11.2(23) вытекает, что сферические гармоники степени п = ш0 имеют вид
г~пН (л, .......± Л1р; *,,хр+2) = г~пН (тк, ±; j) =»
= H (л, ш„..., ± тр, |„ ..., 6р+2) = H (тк, ±; ?), (2)
- К (л, лі,..... Шр, 0],..., Qp, ±<р)= Y (тк\ 0, ±<р). (3)
Мы установим сейчас свойства ортогональности для функций (2), (3) (определения см. в п. 11.1). Положим для любых целых і и т, таких, что />«> О,
и для любых четных M01 Mtl..., Mpt удовлетворяющих 11.2(19),
P
н (та, ........=» 2я Д Bk (mA_„ тц). (5)
Имеет место следующее утверждение:
Теорема 2. Любые две различные функции (2) или (3) ортогональні* на сфере Q, за исключением случая, когда они комплексно сопряжены. В случае комплексно сопряженных функций (или в случае квадрата вещественных функций (2) или (3)) имеем
J Jl Н(тк, ±; Е)|<<Ш« f f\Y(mk, 0, ±q>)|*iO =
Q Q
= N(т0, ти тр)smN(тк). (6)
В частности, любые две сферические гармоники различных степеней ортогональны на единичной гиперсфере.
Функции (2) или (3) образуют полную систему ортогональных функций на сфере Q. Докажем след} ющее утверждение:
Теорема 3 Если функция /(|) всюду непрерывна на сфере Q и ортогональна на этой сфере ко всем функциям H (тк, ±; ?), то она тождественно обращается в нуль на Q.
Для доказательства предположим, что /(ц) = 2в>0, где ц — фиксированный единичный вектор (то есть точка сферы Q). Так как /(g) непрерывна, то найдется іакое положительное число б, что / (|) >а для всех g,
б s
лежащих в окрестности ||? — щ||<б, то есть /(|) >а, если 1 — і]) <-у. Применим к функции
Ф (¦*)'
, 2(1 -х) t ,6s
1--ба ' при 1— x<y>
б1
О при 1—X
теорему Вейерштрасса о приближении многочленами (см. Натаисои, 1949, стр. 19). Мы получим, что для любого е > О найдутся натуральное число п и многочлен Fn (X) степени п такие, что
|fn(*)-<p(-»0l<«, —1<*<1. 9 Г. Бей і иен, А. ЭрдеЭм 234 гл. 11. СФЕРИЧЕСКИЕ И ГИЯЕРСФЕРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ Ц1.3 Тогда •
///(5)<H0.4)HQ>«*>0.
Q
где о* — положительное число, зависящее от а и б, ио не зависящее от в и г, и, следовательно,
Hm Г Г / (1) Fn [(5. Ч)] dii = д*. (7)
г-*о Jq J
Так как функция /(D ортогональна ко всем функциям (2) или (3) и, р
в силу Теоремы 1, C~j[ [(I, т)>] является линейной комбинацией этих функций,
то /(и должно быть при всех к ортогонально к Cfe2 [(?, т))]. Кроме тога
р_
поскольку степень Ci2 (г) относительно г в точности равна к, то F„(г)
р_
должно быть линейной комбинацией функций Cfe2 (г), к — 0, 1,..., л. Следовательно, функция /(I) ортогональна к Fn [(?, ц)], что противоречит равенству (7). Полученное противоречие доказывает теорему 3.
Из доказательства теоремы 3 вытекает утверждение, касаюцееся приближения некоторых классов непрерывных функций с помощью сферических гармоник. Мы имеем следующее утверждение:
Лемма 2, Пусть F (х) — функция вещественного переменного х, непрерывная на отрезке —Положим при л = 0, 1 2____
я JL
?»[(&, Л)] - S amCl [ft, л)], (8)
Л1а0
где
— р Cl (1) А (л, р) ап - / J Cj [ft, rj)] F [(5, л)] da © (9)
А (л, р) C2 (1)=//( Cl [(І, л)] } dQ ?). (10)
Q
Тогда функция F [(Er, -q)] является непрерывной функцией от % на & и может быть приближена функциями <р„ в том смысле, что
.Hm Г Г IF I?, т,)] -q,„ Hfc r0\ I- 0. (11)
п-їво Jq J
Отметим, что А (л, р) не вависит от фиксированного единичного вектора т), значение этой постоянной определяется равенством 11.4(13).
Для того чтобы доказать эту лемму, выберем в (8) коэффициенты ап так,
JL JL
чтобы минимизировать интеграл (11). Так как Ci2 |(|, і})] и С,2 [(?, rj)| при кф т ортогональны на сфере U (см. -аыечания после теоремы 2), то мы 11.4t 11.4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 235
получаем именно значения (9) для а„. С другой стороны, из теоремы Вейер-штрасса о приближении функций многочленами мы знаем, что при соответствующем выборе а„ и достаточно большом п подынтегральная функция в (И) может быть сделана произвольно малой; следовательно, минимум интеграла в (11) стремится к нулю, когда псо.
Задача разложения функций, заданных на Q1 в ряды по сферическим гармоникам изучалась многими авторами При р = 1 см Гобсон (1952), где имеется много ссылок Случай р = 2 был изучен в работах Kogbetllanz (1924) и Koschmieder (1929), а случай любого р в работе- Koschmieder (1931). Разложения функций в ряды по сферическим гармоникам называют иногда рядами Лапласа Вообще мало известно относительно сходимости рядов Лапласа непрерывных функций. Однако доказана их суммируемость по Чезаро (достаточно большого порядка).
