Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Из (52) получаем
(z » v+Sm+l
т) '
Lv(Z)-%
(57)
jTor(m + 4)r(v+«+|)
2 / *у+| ,/?г(1; T + V| Т; ~т) -Vn(2) r(v + |j
Из (55) легко вывести формулы дифференцирования
Urv H?(jr)l(*), (58)
4z Ну(г)1---і-г-^Ну+1|(г). (59)
dz 2V«r(v + |)
Выполняя дифференцирование в левых частях равенств (58) и (59) и сравнивая подученные результаты, выводим, что
Hv_, (z) + Hv+1 (z) « ~ Hv (z) +-С-^t-, (60)
T^2VT (v + 4)
Hv-I (*) — Ну-и (*) 2 Hv (г)--С-^t. (61)
1^2Vr(v+4)
Из (58) я (59) следует, что функции Струве ,удовлетворяют дифференциальному уравнению
(?Г'
Jr2Hev(z) + гн;(z) + (Z2-V2)Hv(z) - }2-- (62)
Асимптотические представления. Если положить в фор-
v--
муле (51) Z- 1 и разложить (1 + t*l~2) 2 в ряд по возрастающим степеням t, после чего проинтегрировать почленно, то получим для больших значений I н фиксированного v
л.-іф+'ЇЇІГ2"1'^1
Hv(6)(S)2 —-/ 1 V-+0(1^-2*"1)' <&>
m-0 ІД V + j — «J
IargfiK я. ТЛ4| 7.5. ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 49
Относительно асимптотического разложения Kv(J) см. 7.13 (4). Далее, можно
доказать, что если v вещественно н g > 0, то при M -J- — v > 0 Af-fl
остаток имеет тот же знак и меньше по абсолютной величине, чем первый отброшенный член.
Относительно случая, когда велики | v I и | g |, см. Ватсон (1949, стр. 364).
1 V-I
Если V » п -J--J (л=0, 1, 2, ...), то(1 +/?"8) 2 в (51) является многочленом и мы имеем
1 Vl /?\-2Я>+Я-4- rIm +Т)
НЯ+!(Й-КЯ+2(^Ш) Пп + 1-Ly M
2 2 тя О
где Y (I) задается формулой 7.11 (2). Далее, из (51) и (54) получаем »+Т
н / TJ і (г); L ,Лг)-У ! (г), «-О, 1, 2, ... (65)
При r»0 формула (64) принимает иид
н /-ч _ 1 —co»g
H1 (г) -----
7 /?
Вели R — натуральное число, то из формул (37) и (55) получаем (Bar-сои, 1949, стр. 367)
н ш-1V * f66,
m»0 I I Л + "2 — я»)
,-я+2т+1
я Za „/ .з\
"-.«-¦Mfr-JL ---т-гет--
тшО Ilm-J--J I
Относительно дальнейших результатов, касающихся функпий Струне, см. Baudoux (1946).
7.5.5. Функции Ломмеля. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение Бесселя 50 гл. 7. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ. ТЕОРИЯ 17.7.3
где |х и V—любые постоянные. Решением уравнения (68) является
СО „
V W= ^
т* О
[Qi +1)3 - V»] [(|i + 3)2 - V=I ... [((X + 2т +1)« - V»]'
/ г \2
(-і г(!)
2m + 2^jx__v_|_l
H^1)
т=0 -H+1
Г ^-v + 2w + 3j г ^ц + у + 2/я+З j
= _ / ц-у + З li + v + 3
~(H_v + l)(|i + v + l) 1^sI ' 2 ' 2 ' 4 ] (69)
Если одно из чисел ц ± v является нечетным целым числом, решение (69) теряет смысл.
Интегрируя дифференциальное уравнение (68) с помощью метода вариации произвольных постоянных и выбирая решение, которое при малых г приблизительно равно [(ц — v+ 1) (ц + v +1)]-1 Z11+1, получаем
"rH, V W
я
2 sin VJt
Z Z
Jv(Z) J z* J^v(Z) dz—/-V (г) J Z^ Jv(Z) dg
о о
z г
Yv (z) J Zli Jv (z) dz — Jv (z) J Zv- Yv (z) dz
(70)
Если V не является целым числом, два выражения (70) для Slli v совпадают. Если же V — целое число, то первое выражение не определено, а второе имеет смысл.
Другим частным решением уравнения (68) является
VvH=SMW'
*-' г (i^rhi) г (i^)
sin (vJt)
X
X { COS [(ц -V) .J.] y_v (z) - cos [(,х + V) Щ Jv (z) J = = v W +2-T (Ji^±l)Г (u±^±i) X
X { sin [(Ц - v) -J-] Jv (z) - cos [qi - v) y] Yv (z)}. (71)
Если ОДНО ИЗ чисел ± V является нечетным положительным ЧИСЛОМ, TO Sj1, v может быть представлено в виде следующего конечного ряда по убывающим степеням z (см. Ватсон, 1949, стр. 379):
VvW=^-1 {1 -Kix-I)2 -V'] Z" +
+ [((і-1)3_у2][(ц-3y-v>]z-<- ...}. (72)
В случае, когда |i -j- v или ц — v является нечетным целым числом, sfl, v не определено, a Slll v (z) имеет определенный предел (Ватсон, 1949, стр. 380). ТЛ4| 7.5. ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 51
Рекуррентные соотношения. В силу принятых определений имеем
S11+J, [(Ii +1)» - V2] S11, V (z), (73)
V (*) + 7 V v (Z) = № + v — 1) S11. ь v_, (г), (74)
V V (*> — 7 V V (*) = (И — v —!) sH-1, v+i (*)• (75>
Ov
-J- Sil, V (*) = (И + V -1) Sp-,. V-, (z) — (ц- v -1) S11.,, V+, (г), (76)
V (*) = (Iі+ v - 1} v-i (*) + 0* — V— 1) Stl.,, v+, (z). (77)
Из (71) следует, что в формулах (73) — (77) можно заменить Sjl v (z) иа 5ц, V (*)•
Частные случаи функции Ломмеля. Многие функции, свя-¦аиные с функциями Бесселя, могут быть выражены через функции Ломмеля
Oin (г) - :1 Si, in (z), 02п+, (г) = (2л + 1) г-1 S0, Sn+, (z), (78)
SM(*)-4«S_,>M(*)1 Sto+, (г) =2 S0, ,„+,(«), (79)
-Аія. V W--?-**"1 Г (v + «)(v + 2n) S1^vttn(Z)1 (80)
2V+1 .
An+U v w ---д- ^v-1г (v + я +1) (v + 2я +1) s_v, v+sn+, (Z), (81)
Jv (*) = -I [sin (vji) s0, V (z) — v sin (vji) s_,, v (г)], (82)
Ev (z) = — -i- [(1 + cos vji) S0, V (г) + v (1 — cos vji) s_b v (*)], (83)
Hv (Z) = P wP = Kv (г) + 2^ ^ v f , (84)
^rKi) ^r Кт)
где использованы обозначения, введенные в п.,7.5. Функция Юнга (1912) имеет вид
5 з і W
С гг,,,. У (-Dm'V+2m таг vHT-IT
°vl) Za r(v+2m4-l) уг T(v-I) •
