Высшие трансцендентные функции. Том 2 - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, из (25) н 7.11 (36) имеем
Я2
*m,v<*)=---2" PVmiWA-i W-AwWVi (*)]• (29)
Пусть в формуле ?5) /и = 2л где я—целое число. Используя
(26) и 7.11 (5), получаем
JL V (2*)2"1-2" (2л — 2/и) I (2п — т) 1 „
= яг mI (л — /и)I(л — т)\ '
/71=0
Рекуррентные формулы и формулы дифференцирования, которым удовлетворяет многочлен v, могут быть получены из его представления (25). Относительно этих формул и доказательства предельного соотношения Гурвица
|Я1+»
Iг\т+\
Лтоо r(v + W + l)--yV W (31)
см. Ватсон (1949. п. 9.63, 9.65). Относительно других результатов см. Mcdonald (1926).
7.5.3. Функции Ангера — Вебера. Функция Ангера Jv (г) и функция Вебера Ev (г) определяются интегралами типа Бесселя
я
Jv (z) ± ffiv(z) = I J e±l т d<p. (32)
Используя формулы 7.3 (9) и 7.3 (IO) соответственно, получаем отсюда разложения OO
Jv (z) = Jv (z) +1 Sln (уя) J ^ dt =
OO
-= Jv (г)+ Isln (VH)J е~** («+V 1 + p*rv(l +os)~W dv, (33)
Rez > a
OO
Ev(Z)=-Kv(Z)-I J + wi)*-'*'*-
O
OO
=-Yv (г)J +
u
~V](l+o*f dv, Rez>u (34) ТЛ4| 7.5. ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 45
Из (33) следует, что
J» (г) = Jn (*)> П - о, ±1, ±2.... (35)
Разложение подынтегральной функции (32) по степеням г и почленное интегрирование с использованием равенства 1.5 (29) приводят к разложениям
''Jf-+
V '^(" + ' + fM"+1-?)
OO / г ч2л+1
оо , ./г\2я
.і-\у '-"Ы
W Ii г (л+1+І)г(.+,Ч)'-
OO /z\Sn+t
Связи между функциями Аигера и Вебера а рекуррентные соотношения. Из формул (33) и (34) имеем
sin (vn) Jv (г) = cos (vn) E4 (г) — Е_ч (г), (38)
sin (vn) Ev (г) = J_v (г) — cos (чя) J4 (г). (39)
Дифференцируя формулу (32), получаем
я
2 [j; (г) + / е; (г)] -Ij К4"1» "ta ?1 — в* >(V+I> »-« «ш ФІ} ^
откуда, виовь используя формулу (32), выводим, что
2 j; (г) «= Jv_! (г) - Jv+1 (г\ (40)
2 Е; (г) = Ev^(Z)-Ev-H(Z). (41)
Аналогично из формулы (32) вытекает
, Jv-, (г) + Jv+ .(¦?) = 2vz"'Jv (г) —2 (яг)-1 sin (т), (42)
Ev-J (*) + Ev+j (г) = 2*г" 1Ev (г)—2 (яг)"1 (1 — cos vn). (43) Из (33) и 7.2 (1) выводим, что К W + <*> + (1 - V2Z-2) Jv (г) -
OO
= 1 г-»з1п (vn) I К— г Ch f+V) 'dt. 46
ГЛ. T ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ТЕОРИЯ
PAt
Таких образом, очевидно, что
j; {г) + Z-1S' (Z) + (1 - va2-2) Jv (Z) =-1 г-3 (г - v) ein (vn). (44)
Из (44) и (39) вытекает соотношение
К (z) + г" 1E; (z) + (1 - V1Z-2) Ev (z) ---!г"2 Iz + V-K*-у) cos (vn)]. (45)
Асимптотические разложения. Асимптотические разложения функций Jv (z) и Ev (z) при больших значениях z и фиксированном v легко получаются с помощью леммы Ватсона. Подставим выражение
(0 + /1-+^(1+^)"1/2 •
- -Ц^; -*»)+Ws/>,(i+f і-Js -*») т
соответственно в (33) и (34) и используем равенства 2.1 (2), 1.1 (5). Мы получим
ГМ-1
Jv (Z) = Jv (Z) -}- (Jir)-1 sin (Vrt)
я-о
+ 0(|*ГМ)+* 2] (-1)-2^(1 + ^(1--5-)^-8"-' +
+ vOCl*!-^-1)!, (47)
M-I
п=0
X
M-I "1
я=0 J
Ev (г) = —Kv (z) - (яг)"1 (1 -f cos Vrt) X
ГіИ-1
b=O ,-1
M-1
— V (яг)-1 (1 — сое vrt)
л=о
+
(48)
Относительно асимптотических разложений для Jv (г) и Kv (г) в (47) и (48) соответственно см. 7.13 (3) н 7,13 (4).
Случай больших значений |v| и |«| изучен в книге Ватсона (1949, стр. 345).
7.5.4. Функции Струве. Функции Струве определяются с помощью интегрального представлевкя, похожего на интеграл Пуассона 7.3 (8):
і j
Г (v +1) Hv (*) = ^ (|)V J (1 * (*) dt -
2
— упг(-|-)V J sin(zcosф)(SlnqO2v Revy--J-. (49) ТЛ4| 7.5. ФУНКЦИИ. СВЯЗАННЫЕ С ФУНКЦИЯМИ БЕССЕЛЯ 47
Из 9Т0Г0 выражения можно вывести (Ватсон, 1949, стр. 367), что функция
Hv (х) положительна, если * положительно и v>—.
Вели преобразовать равенство (49) в контурный интеграл, то можно сиять ограничения, наложенные на v, и мы получим
(1+)
Hv (г) - - 1я~7Г (1 - v) J (t' - 1)V"T sin (zt) dt.
(50)
, 1 3 5
v^T' T'
Еще одно представление вытекает и3 7.2 (12):
ooe'? J
Г (v + i) [Hv (?*) -Kv (!*)] - -Ь J (1 + ,V2/" dt,
о (51)
P-|<argi<? + f; -f-?<argz<|-?.
(Относительно других интегральных представлений см. Meiler, 1935а, стр. 628, 744; 1939; 1940, стр. 198, 366; Nielsen, 1904, стр. 234.) Модифицированная функция Струве имеет вид
Ivn / 1Я\
Lv(Z) = -/* -iHvU2J. (И)
Следовательно, из (49) вытекает
jt
2
Lv (г) Г (v + jj = JL- Qv j 8h (z cos Ф) (sin V)2v Re v > —J-. (53) Из (51) мы имеем
2 (If F
Lv (X)=-У.„(де)--у I . І (1+<»)V T sin (^) (M)
де > 0, Re V < -j-.
Представление Hv (z) в виде степенного ряда по возрастающим степеням г получается из формулы (49) путем разложения sin (z cos ф) по степеням z и почленного интегрирования:
* / _ уv+2m+i
V (-1Ht) hV (*) = 2i-7-я\—7-5Т"
m-o r(m+4)r(v + m+|)
С Л 3 . 3
2 j ж V+upaVi "2" "2 ' —Tj /екч
=7*1 т) Ц^Щ • (55) 48 ГЛ. Т. ФУНКЦИИ BECC ЕЛЯ TEOPHJP [7.5.4
Отсюда видно, что ^j-J Hv (г) является целой функцией от v к г. Далее, мы имеем
Hv Wmx) - el*(v+1) mHv (г), т -11 2, 3..........(56)
