Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
Замечание 1. Если u(t) = const в (4.1), то уравнения (4.10), (4.11) принимают соответственно вид уравнений
ao + 2а2 — 2ai — &оехр(6 J aidi) = 0, (12)
ао+2а2—2ai — (60±26?)ехр(6 J аі<Й)(±3&і J ехр(3 J aidt)dt+k)-2 = 0,
(13)
которые обобщают уравнения Риккати.
6.2. Конкретные примеры ОНЗ двух тел
1°. Пусть Ci1 = 0. Тогда из (13) находим
bo ± 2Ь2 (±3m + fc)2
Mt) = , , 1^2- (14)
Пример 1. Если в (14) bo = k = 0, то придем к уравнению
r+Ar = ?0JLt (15)
9t~ г
описывающему задачу двух тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона на фоне гравитирующего вещества мира Эйнштейна-де Ситтера (см.
о
Омаров [200]). Соответствующее задаче (15) линейное уравнение х+—х = = 0 (частный случай уравнения Эйлера) имеет ФСР X1 = і1/3, ж2 = ?2^3.
6. Редукция к задаче Гильдена- Мещерского 365
Согласно (3), (4) преобразование KJl имеет вид г = м-1/2/?, сіт = u(t)dt, где
1 u _ 3 (и\ = _2_
2 и 4yUJ gt2-
В силу леммы 2.5.2, выбрав в качестве u(t) = х^2, получим преобразование
T = X1P = t1/3, dr = X^'dt = t~2/3dt, (16)
приводящее (15) к виду
//'(т) =-^1(T)I (17)
P
где
р'{(т) - 2^f\ + Ір\{ г p2dr)-2 = 0. (18)
А*і(т) У J
Согласно теореме 4.1 (см. уравнения (4.3), (4.7)) имеем:
/л(т(і)) = v-3u-2p0t1/3 => P1[T) = ат. (19)
К форме (17), (18) уравнение (15) может быть приведено и с помощью преобразования
г = x2p = t2/3p, dr = Xl2dt = t~4/3dt. (20)
А так как т = —Зі-1/3, то
P1(T)=Qt-2. (21)
В обоих случаях уравнение (17) интегрируется в замкнутом виде. Следовательно, интегрируется в замкнутом виде и уравнение (15).
Пример 2 (Омаров [200], Минглибаев, Омаров [181]).
Нестационарная задача N тел:
гі = -GAf1 у2ч- Агь і = M- (22)
Соответствующие линейные уравнения жг H—Xi = 0 имеют ФСР хц =
At
= і1/2, X2i = ^I2ItU,. Согласно теоремам 4.1, 4.2 и 1 уравнения (22) преобразованиями
I4 = хирі = t1/2pi, dr = xu2dt = Г1 dt, і = T^N (23)
366 Глава 6
N
(г) = -СМі№(т)^і|, (24)
где рі(т) = ехр(1/2т) удовлетворяют уравнениям
^ (г) - 2^M + [ tfdr)-2 = О, г = Ї7Ж (25)
2°. Пусть ао = 0. Тогда из (13) следует o,i-o,2+(b0/2±b2)exp(6 Ja1dt)(±3b1 Jехр(3 Ja^dtydt+k)-2 = 0. (26) Пример 3.
г + a\(t)r = A*-^-, /i = const, (27)
где GSi (і) удовлетворяет (26). В частности, если Ъ\ = 0, то интегродиффе-ренциальное уравнение (ИДУ) (26) переходит в ИДУ
ai-a\ + ^b0 ехр(6 J axdt) = 0, (281)
которое легко преобразуется в ОДУ
ai - 8aiai + 6a? = 0, (282)
интегрированием которого мы сейчас займемся. Уравнение (282) допускает факторизацию
(D-V2(I1)(D+ g -riai)ai = 0, гі,2є{6;2} (29)
и преобразованием а\ = A1, dr = aidt приводится к линейному виду3
А'{ — 8А[ + YlA1 = 0, () = 4--
dr
3Методу точной линеаризации посвящена гл. 5, см. уравнение (5.2.12) и пример 5.3.2.
приводятся к виду
6. Редукция к задаче Гильдена- Мещерского 367
2 и Ayuj A(t + Cf
служит семейство функций
[(a/2)(t + c)2 + ?}2
Так как при этом и = (a/2)(t+c)2+?, au(t) = p0[(a/2)(t+c)2+?\(t+c)~2, то и(т) = l/2uoa[a?(r + с) + I]-1. Так, например, если преобразование KJl примет вид г = (t + c)2P1 сіт = (t + c)~3dt, то и(т) = const.
Пусть GSi(i) = ——-—-. Общим решением уравнения Куммера-
o\t -\- с)
Шварца
1 u _ 3 (и\ = 7 1
2 и А\и) 36(i + c)2
служит семейство функций и = (t + c)1Z3Ia(I + с)4/3 + /3]~2. При этом v(t) = a(t + с)4/3 + ?. Так, например, если преобразование KJI взять в виде
r=(t + c)4/3p, dT = (t + c)-7/3dt,
то u(t) = u0(t + с)4/3 = Дот-1/2.
Если же преобразование KJI возьмем в виде
г = р, dr = (t + c)1/3dt,
то u(t) = u0(t + c)-2I3 = Jl0t-1'2.
Общее решение уравнения (282) можно представить в виде
GSi = ехртд/со ехр(4т) + с4, t = J ехр(—т)(со ехр(4т) + I)-1Z2^t, или
а\ = s_3\/co + c4s2, t= / (со + Si)~1'2s2ds1 (е~т = s).
В силу факторизации (29) уравнение (282) имеет однопараметрические семейства решений:
<2i (i) = ——\—, GSi (i) =--—-, с — постоянная интегрирования,
t + с 3(? 4- с)
которые следуют из уравнений первого порядка: 2ai — r\^a\ = 0.
Пусть GSi(?) = —?^_с- Общим решением уравнения Куммера-Шварца
/ 4 2 IiI 3 / й
368
Глава 6
Пусть в (12) bo = 0. Тогда придем к примеру: Пример 4.
г + ai(г)г + a0(t)r = i_i0 — , r = (x,y) , (ЗО)
где
а0 = 2ai - 2а\ (31)
(коэффициент ai (і) предполагается известной функцией) или где a\(t) удовлетворяет уравнению Риккати
ai = а\ + |а0 (32)
(коэффициент ао (і) предполагается известной функцией). В силу (31) уравнение (30) допускает факторизацию
(?>-аі)(?> + 2аі)г =-/іо-^. (33)
Для поиска соответствующего преобразования KJI проинтегрируем уравнение Куммера-Шварца
2
їй З Iй\ _ 92,3
(й\ 9 2,3/
[й) =-4ai + 2ai-
2 и 4 ( и Его общее решение есть
ехр(3 / aidt)
u(t)
(a J'exp(3 f aidt)dt + (if
Тогда v(t) = ехр(—2 f a\dt)(a f ехр(3 f aidt)dt + ?), ji(t) = = iio(a f exp(3 J a\dt)dt + ?). За /іі(т) можно принять выражение /іі(т) = = -цо/(ат + ?).
