Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
?-2^ + b0p5 =0, Ь1=0, (2)
M - S77- + „ , о, Р 2 2 = 0, 6i ф 0, (3)
^ (6о±26|)д5 ^ (fc±3bi//Aft)
и описывается конечными формулами
1 , ЗЬі 1 ЗЬі
= (ait+ /Зі) 2 2^(a2t + /32) 2 2^,5i>0, (4)
p2(t) = (At2 + Bt + C)~* ехр (±-^k=arctg2At!^) , S2 < 0, (5) x-i__/ _ЗЬі 1
Мз(і) = Н + /3)-іехр(Т-^^-^), ^3 = O, a ^ 0, (6)
_ 1 ЗЬі
/і4(і) = (at + /3)_2 2° , = a2 >0, (7)
№(t) = exp(±^t), ?5 = 0, a = 0, (8)
образующими фундаментальную систему решений следующих линейных уравнений соответственно:
¦¦ of ai Qi2 \ . 8a1a2(a1t+?1)(a2t+?2)+S1-%l
^+2{ait+?l+a2t+?2)^+ A(a1t+?1f(a2t+?2f ?l '
.. , „ 2At + ? . , 2(2At+ B)2+4AC-B2-962
"2 + 2A^+Bt + C112 + 4(At2+Bt+ C)2 "2 - °'
5. Законы изменения массы в задаче Гильдена-Мещерского ... 361
а2 - 96?
{at + ?)2?4 + 2a{at + ?)?4 +--—-p4 = О,
Д5 - 962д5 = 0.
• Теорема 1 является частным случаем теоремы 3.3, где принято
сії(?) = 0, ao(i) = 0, а x2{t) = t, x\(t) = 1 образуют фундаментальную систему решений уравнения х = 0.«
Теорема 2 (Беркович [39]). Интегрирование задачи (1)-(3) сводится к интегрированию задачи (Y), где р изменяется согласно закону Эддингтона-Джинса
? = -kpu, 1 < V < 3. (9)
Прежде всего отметим, что найденные в теореме 1 законы охватывают законы Мещерского
11 at + ?' 11 Vcrf+?' 11 VAt2+Bt+ С'
а также дифференциальный закон Эддингтона-Джинса (см. Jeans [330], Eddington [299]2)
? = kpu, — oo <v< +00. (11)
• Данная теорема есть специальный случай теоремы 4.2.4. Но, учитывая ее важность для интегрируемости, дадим еще одно доказательство.
1) Применив подстановку
г = p(at + ?), сіт = (at + ?)-2dt, (т = "1^ + ^1, ax? - a?x ф 0)
at + ?
преобразуем задачу ГМ в себя. При этом под действием индуцированного преобразования
p = {at + ?y1p1, dr = {at + ?)~2dt,
уравнения (2) и (3) переходят в себя, а графики функций (4), (5) —> (7), (6) —> (8), (7) —> (7). Графики (7), (8) описываются законом (11).
2) Воспользуемся теперь теоремой Радзиевского-Гельфгата [206] о преобразовании задачи ГМ с законом (11) в задачу ГМ с законом (9), что и завершает доказательство. •
2Согласно [299] величина показателя и должна меняться в конечном интервале 1,4 ^ и ^ 4,4.
362
Глава 6
Пример 1. Рассмотрим преобразование нестационарной задачи ГМ, где масса материальной точки изменяется по первому закону Мещерского
т=(х,у)т, (12)
at + ? г3 ' к стационарной задаче
Э" = -4> р=Ыт- (із)
г
Согласно формулам (4.2.8), (4.2.9), (4.6) и (6) найдем u(t) = (at + + /3)-2, v(t) = (at + ?). Преобразование KJI (Нехвила) для (12) будет иметь вид
r = (at + ?)p, сіт = (at + ?y2dt,
а соответствующее стационарное уравнение есть (13).
На рис. 9 показана некоторая траектория движения материальной точки для задачи ГМ (12), когда масса точки изменяется по первому закону Мещерского. А на рис. 10 показана траектория движения для соответствующей стационарной (кеплеровой) задачи (13).
6. Редукция к задаче Гильдена-Мещерского
Не преуменьшая собственной роли задачи ГМ, основное ее предназначение, как нам представляется, состоит в том, чтобы быть приведенной формой для более реалистичных постановок как для задачи двух тел переменной массы, так и для нестационарных задач двух тел.
6.1. Основные результаты
Теорема 1 (Беркович [51]). Для того чтобы ОНЗ (4.1) преобразованием KJI приводилась к задаче ГМ (5.1)-(5.3), а именно к виду
f?i(T) =-U1(T)^, (1)
P
Х(т) (fro +262K Мт)-2—г— + ,, f. 2 2 = 0, (2)
рі(т) (k ± 3fri J и{атУ
(имеем два случая: Ъ\ = 0, к ф 0; Ь\ ф 0), необходимо и достаточно,чтобы «масса» u(t) удовлетворяла уравнениям (4.10), (4.11).
6. Редукция к задаче Гильдена-Мещерского 363
u(t) = д72(т)д2(і)ехр(3 у aidt). (6)
Подставив (6) в (4), будем иметь на основании выражений
- = -2—— м + 2- + Заь u /U1(T) А*
И и ^l • . г, ( Ml2 Ml" \ 2 , J г, А2 . /\? , о Ui9'
й = -4їїім + 2 І 7ІГ - TiT ) и + 2U - 2T" + Ix2U + 3aiJ й + 3ai'
соотношение
(2f-g!) -2 + g-2^-3g+2ai-2a?-ao = 0, (7)
которое в силу (6) и (2) дает (4.10), (4.11).
Справедлив и обратный переход от уравнений (1), (2) к (4.1)-(4.3). • Следствие 1. Задача (4.1), преобразуемая к задаче ГМ, приводится
также к автономному виду
R"(s) ± biR'(s) + &oR= -/4)?, R=(e,r/)T, (8)
подстановкой KJI
r = V(t)K, ds = U(t)dt,
• Прежде всего найдем конкретный вид преобразования КЛ. В силу линейных частей уравнений (4.1) и (1) имеем
V = |мГ1/2ехр(-| J aidt), (3)
\ї -!(і)2=^)- (4)
Применив (3), (4) к (4.6), получим соотношения
U1[T) = ?{t)v-3{t)u-2(t) = д(і)м-1/2ехр(3/2 / aidt), (5)
364
Глава 6
где VuU удовлетворяют соотношениям:
V = |?/|-1/2exp(-I J Ci1CIt+^b1 J UcIt)1 (9)
-\tU2 = A0(t), 5 = bj-4b0, (10)
причем Aq = ао — ^¦a2 — ^a1, и, кроме того, допускает следующие частные решения (прямолинейные движения)
r = V(t)X, Ь0Л3 + 1=0, А=|Л|. (11)
