Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
u(t) = uqv3 (t)u2 (t), Uo = const; (6)
2) инвариантна относительно подалгебры алгебры Ли, порожденной генераторами вида
U = ф, х,у)^ + г,1 (t, х,у)?+ г,2 (t, х,у)-^, (7)
где
ґ 1 1 V 2 V /0\
3) допускает частные решения (прямолинейные движения)
г = v(t)\ Ъ0\3 + u0 = 0, |А| = А. (9)
4. Групповой анализ и автономизация нестационарной задачи 357
• 2 />
? — 2—— 3ai? — (ао + 2а\ — 2ai)p + bo?5 ехр(6 / aidt) = 0, bi = 0, (10)
•• о ^ ч ¦ ( ^ * •>¦ ї (&о±2^)М5ехр(б/а1^)
и-1— -Заїр-{а0-\-Ia1-Іаі)у,+ —----—--—-— = 0, Oi ^ 0,
^ (±3oi/exp(3/aidt>2di + fc)2
(H)
м выражаются в конечном виде в терминах решений уравнения
X + a\(t)x + ao(t)x = 0, (12)
а именно:
1 , ЗЬі 1 ЗЬі
А*і(*) =А*о(аіЖ2 + /Зіа;і) 2 2^ (сад +/Зіжі) 2 2^,5i>0 (13)
/^2(^)=/^0(^2 + ¦B^iX2 + Cx1) 2 exp( + arctg---—J, 52<0,
(14)
А*з(*) = /*о(аж2 +/Зжі)_1ехр ( ТІ^-^7?— J > <Ь = 0, сі ^ 0, (15)
V4 2а ах2 + рх\ J
_1 ЗЬ]_ _1 ЗЬі
/J4(t) = /J0(CXX2 +/Зжі) 2 2а\хг\ 2=F 2« , C)4 = а2 > 0, і = 1,2, (16)
/*б(*) = Рох{ 1CXp(Zb-Oi^), с>з = 0, a = 0, (17)
З, x2-:2blxl>
где xi, X2 образуют ФСРуравнения (12), а
p0(t) = ехр(-2 J cndt). (18)
• Уравнения (10), (11) получаются из (5), (6). А формулы (13)-(17) следуют из лемм 4.4.2 и 4.4.3, из теоремы 4.4.1, а также из формулы (6). •
• Уравнениям (4), (5) соответствуют уравнения (4.4.4), (4.4.5), а (6) отвечает формуле (4.4.6) при п = 2. Генератор точечной симметрии (7) соответствует автономизации системы нелинейных ОДУ с приводимой линейной частью. Наконец, формулы (9) соответствуют следующим — у = = pv(x), bop + kpv = 0 — и вытекают из теоремы 4.1.1 •
Теорема 2. Все законы изменения массы p(t) в задаче (1)-(3) удовлетворяют соответственно нелинейным дифференциальному и интегродиф-ференциалъному уравнениям
358 Глава 6
v(t) =/і-1(і)ехр(-2 J Q1CIt)1 Ьг =0, (20)
где p{t) удовлетворяет (10);
б) u(t) = u2{t)exp{3 / a1dt)(k±3b1 / exp(3 / a1dt)p2dt)~1, (21)
v(t) = u~1(t)exp{-2 / ai<ft)(fc±3bi / exp(3 / агаі)p2 dt)3, bi ^0, (22)
где /i(t) удовлетворяет (10);
2) прямолинейные движения в задаче (1)-(3) находятся по формулам (9), где v{t) удовлетворяет (20), (22).
• Вытекает из формул (5), (6).«
4.2. Стационарная подгруппа группы преобразований линейной части (1)
Определение 1. Множество Г0 С Г преобразований КЛ, преобразующих в себя уравнение
Ї + ai(t)r + a0{t)r = 0, (23)
т. е. преобразований КЛ
r = v0(t)p1 dT = u0{t)dt1 (24)
приводящих его к виду
р" + Ci1(T)P1 + а{т)р = O1 (25)
где
vo(t) = |иоГ1/2ехр(-| Jax{t)dt) ехр(| J ai(r)dr), (26)
{T0, і} + А{т0)т2 = A(t) (27)
будем называть стационарной подгруппой.
Найдем теперь выражения для преобразования КЛ, а также для прямолинейных движений задачи (1)-(3) через u(t).
Теорема 3. 1) Ядро и множитель преобразования KJI имеют следующий вид для задачи (1)-(3):
a) u(t) = /і2 (і) ехр(3 / Q1CIt)1 (19)
5. Законы изменения массы в задаче Гильдена-Мещерского.
359
Теорема 4. Стационарная подгруппа Г0 группы Г индуцирует стационарную подгруппу Y0, оставляющую инвариантными уравнения (10), (11); подгруппа Г0 задается преобразованиями
?(t) = |w0|1/2exp(-3/2 / ai(i)di)exp(3/2 / аг{т)ат)і;{т),
dr = u0(t)dt. (28)
• Преобразование (28) вытекает из (26) и формулы
M*K~3«O2 = К*)- (29)
Покажем, что (28) оставляют инвариантными уравнения (10), (11). Имеем
Г/1 -1/2. 3 /,\ 1/2,3 / ч 3/2 \ , ч 3/2 ,/ ч] ,,S1 , S
[(^«о ио --аі(і)и0' +-аі(т)и0' Jt;(t)+w0' /у (t)J s(t)s(r), Д = ^о72^"(т) + (2иУ2и0 - Заі(і)и^2 + Ъаг(т)иУ2)и' (т)+
( 1 -3/2.2 , 1 -1/2.. 3- /.n 1/2 3 /,ч -1/2- 3 // ч 5/2
+ V 4И° И° 2И° ио--ai(*)«(/ - 201(TJ)M0 ио+2аі(т)ио + +Заі(т)иУ2и0-|аі(т;)аі(т)ио/2 + |а2(і)иУ2+|а2(т)ио/2)^
2„±vv„±v ,„0 , 4^,~0 , ^ -2u'n^—;== + ( -2U1J2Uq + 6GSi(Tj)w3/2 - 6ai(r)«q^2j г/(т)-
5/2^2(т)
v(t)
/ 1 -3/2.2 9 2/ \ 5/2 9 /.n 1/2 „ ,n1. -1/2
+ (--w0 w0-^a1(t)w0' -2GsHt)w0' +3ai(t)w0w0 -—3ai(t)uJ2u0 + 9ai(t)ai(T)w072 ) v(j) s(t)s(r),
где s(t) = exp(—3/2/ a\(t)dt) exp(3/2 J а\(т)ат).
Подставив найденные выражения для р, Д, Д — 2Д2/'и в (10), (11), получим вновь (10), (11) с заменой обозначений и —> v, t —> т, ( •) ^ (' )••
5. Законы изменения массы в задаче Гильдена-Мещерского и редукция к канонической форме
Задаче ГМ посвящено немалое количество исследований, часть из которых посвящена нахождению законов изменения массы, при которых задача ГМ приводится к автономному виду1.
1 «Известное завершение этого цикла исследований ... осуществлено Берковичем Л. М.» (Г.К.Михайлов [183]).
360
Глава 6
Теорема 1. (Berkovich [251], Беркович [36]). В задаче ГМ
г =-Kt)-J (1)
законы изменения массы p(t) представляют собою решения следующих нелинейных дифференциального и интегродифференциалъного уравнений
