Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
(26)
Приравняв к нулю коэффициенты при у'0 = 1, у', у'2 и у'3, получим переопределенную систему линейных уравнений с частными производными
3. Групповой анализ и автономизация ОДУ
353
относительно ?(х,у) и г](х,у):
2
5у4г] + ^r]x + г]хх - (г]у - 2?_х)уь = О,
ІУ
(27)
Vw 2?,ху + х?,у — о,
0.
Рутинные выкладки приводят к следующим выражениям для ?(ж, у) и п(х,у) : ? = 6(ж), ц = с(х)у, где &(ж) и с(ж) удовлетворяют следующей переопределенной системе линейных ОДУ:
с ¦ 2с-
с' =0,
= 0,
(28)
iff L її Ь ~ХЬ
Ь '
Первые два уравнения полученной системы дают общие решения с(х) = = Ci + с2/х, Ь(х) = —2с\х — 2c2ln\x\ + сз, где ci, C2 и сз — постоянные интегрирования. Подстановка найденных выражений в третье уравнение системы существенно сужает выбор для решений системы. Находим, что
с(х) = с, а Ь(х) = —2с\х. Положив Ci = —1/2, получим ? = х, г/ = —1/2у, откуда
U
,д_ дх
1 д
(29)
Первое продолжение Ui инфинитезимального оператора U согласно (7) имеет вид
тт д Id 3rd /оп\
Ul=Xdi-2ydy--2yW- {Щ
Введем новые переменные, выбрав в качестве независимой переменной инвариант 1(х, у) генератора U, а в качестве зависимой переменной — первый дифференциальный инвариант J(x, у, у'). Они находятся из системы ОДУ
dx
X
dy
dy1
- 1/2у - 3/2у'
Находим
I = yVx, J
у'х3'2.
(31) (32)
354
Глава 6
Тогда уравнение (24) перепишется в виде
Ц- = 1I2'7 ~ 1 , или JdJ - \ldJ - \ jdl + I5dl = 0. (33) dl J — 1 j 2_/ 2 z
Последнее уравнение легко интегрируется:
J2 -IJ + I6/3 = C. (34)
Замечание 1. Генератор (29) можно получить и иным путем, если подвергнуть уравнение (24) тестированию с помощью группы G растяжения (29). Второе продолжение G2 группы G описывается формулами
X1 = хеа, У1 = уета, уі(жі) = г/(ж)е(™-1)а, у'{{хг) = у"(х)е{т-^а.
(35)
Подставив формулы (35) в (24), получим уравнение вида
е^-^у'Цх!) + е^-т> щу[(хі) + е-Ътау\{X1) = 0. (36)
Для того чтобы уравнение (24) допускало группу (35), необходимо и достаточно чтобы уравнение (36) с точностью до обозначений совпадало с (24): е(2-т)а _ е-5та^ 0ТКуда т = —1/2. Отсюда уравнения (6) примут вид X1 = хеа, J/1 = 2/е_1/2а и, следовательно, генератор (4) в силу формул (5) примет вид (29).
Применение метода автономизации
Метод автономизации состоит в нахождении для исходного уравнения неавтономного уравнения Ньютона (1) т. н. преобразования Куммера-Лиувилля
у = v(x)z, dt = u(x)dx, (37)
где v, и — достаточно гладкие функции, которое приводит (1) к автономному виду (15).
Более детально этот метод будет рассмотрен в следующем параграфе для обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера.
Лемма 1. Уравнение (24) преобразованием КЛ (37) приводится к автономному виду
z ± b\z + boz + z5 = 0, bi7 bo = const, (38)
причем u(x) и v(x) удовлетворяют следующим уравнениям
4. Групповой анализ и автономизация нестационарной задачи 355 v(x) = |и(ж)|-1/2ехр(±!&і J u(x)dx)x~1 (40)
v-4u2 = 1. (41)
• Проверяется непосредственно. • Предложение 1. Уравнение (24) преобразованием KJI
у = x~1/2z, dt = x^dx, (42)
приводится к виду
z ~\z + z5 = 0, (43)
допускает первый интеграл вида
х3у'2 + х2уу' + 1х3у6 = с. (44)
и имеет элементарные (инвариантные) решения вида
у = Xv(x) = Хх-1/2, (45)
где А удовлетворяет уравнению А4 = т. е. А = ±1/-\/2, ±i/V2,
• Из уравнения (41) находим v = и1/2. Тогда условием совместности уравнений (39) и (40) будет функция и(х) = x~l. При этом Ь\ = 0, bo = = —1/4, преобразование KJI примет вид (42), а автономное уравнение и инвариантные решения — соответственно (43), (45). •
Замечание 2. Хотя приведенный пример наглядно демонстрирует высокую эффективность метода автономизации, следует не упускать из виду, что, вообще говоря, границы применимости этого метода связаны с подалгеброй алгебры Ли, допускаемой исследуемым дифференциальным уравнением и содержащей генераторы вида X = а(х)д/дх + Ь(х)уд/ду.
4. Групповой анализ и автономизация обобщенной нестационарной задачи двух тел
Для доказательства утверждений данного параграфа существенное значение имеет специальный случай уравнения Ньютона, а именно обобщенное уравнение Эмдена-Фаулера (ОУЭФ)
у" + аг(х)у' + а0(х)у + f(x)yn = 0, п ф 0, п ф 1,
356
Глава 6
а также его каноническая форма (КОУЭФ)
у" + f(x)yn = 0.
КОУЭФ и ОУЭФ подробно рассматривались в гл. 4, пп. 2 и 4. Во избежание повторений мы будем делать соответствующие ссылки.
4.1. Автономизация обобщенной нестационарной задачи (ОНЗ) Теорема 1. (Беркович [51]). ОНЗ, описываемая уравнением
f + ai(i)r + a0(t)r = -u(t)^r, r=(x,y)T (1)
1) приводится к автономной форме
f/'±blf/ + boP = -po^, P = [^f (2)
P
преобразованием KJI (Нехвила), которое принимает вид
r = pv(t), dT = u(t)dt, (3)
где u(t), v(t) и u(t) удовлетворяют соответственно уравнениям
-\би2=М*), O = b2-Ab0, Л) = ао-|аі-|аі, (4)
v = IttI 3^/2 exp(— I J a\dt ± J udt), (5)
