Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
= drp_ l,d^=d_j1_ , ( д2ц Э2Л т dx У dx дх2 У \ дхду дх2 J
Уравнению (1) соответствует уравнение в частных производных
0^f + "% + + = 0' * = »"-/<*• »•?I. (ю)
которое при условии F = O должно тождественно удовлетворяться, т. е.
U2F\F=0 = 0. (11)
Уравнение (11) называют уравнением для определения группы Ли G (короче — определяющим уравнением). Нетрудно показать, что (11) распадается на переопределенную линейную систему уравнений в частных производных от двух неизвестных функций: ?(х,у) и rj(x,y). В развернутом виде уравнение (11) имеет вид:
Группа проективных преобразований.
X У тт 2 д , д
X1 =--, Ij1 =--; U = X—+ Xy1—.
1 — ах 1 — ах ох ду
Группа Галилея.
X1= X + ау, г/1= у; U = y^-.
Дважды продолженной группе G2 соответствует дважды продолженный генератор
U2 = U + I11 (х, у, у') + I12(х, у, у', у") , (7)
350
Глава 6
; д2і] дхду
дхду
ду2
д^_ _ 2дС _ 3 ,д? ду дх ду
0
(12)
Важный частный случай уравнения (12) получается при / = f(x, у).
Поскольку полученное уравнение должно удовлетворяться тождественно, то функциональные выражения при у'0, у', у'2, у'3 аннулируются. Итак, получим следующую переопределенную систему
df df
дх
Г]
ду
д2у ' дх2 , д2у
дхду
/(
ду 0 9? n
ду д\ дх2 д^у
ду2
-з/
дх ді
ду
-2
d2j
дхду
дН ду2
(13)
Однородная система (13) всегда имеет тривиальное решение: ? = 0, г/ = 0, которому соответствует тождественное преобразование х\ = х, у\ = у. В том случае, когда существует нетривиальное решение ?, г] системы (13) и, следовательно, существует нетривиальный генератор U, то уравнение (1) допускает понижение порядка.
Для целей нашей работы особенно важно то, что наличие нетривиального генератора U и, следовательно, нетривиальной однопараметрической группы G, означает возможность привести (1) к автономному виду, поскольку G подобна группе трансляций х\ = х + а, у\ = у. Конкретно это выглядит следующим образом.
Точечное преобразование
z = fi{x,y), t = f2{x,y), осуществляющее редукцию (1) к автономному виду
z = ip(z, і), (• ) = d/dt
строится, исходя из системы уравнении
dx dy
?(х,у) г](х,у)
dt.
(14) (15)
(16)
3. Групповой анализ и автономизация ОДУ 351
?(х,у) г]{х,у) гц(х,у,у'У
который обозначим J(x,y,y') = с\. Тогда уравнение (1) запишется в виде уравнения первого порядка
Jl= F(I, J). (21)
Указанная процедура распространяется и на системы уравнений второго порядка
X = fi(t,x,y,x,y), ij = f2(t,x,y,x,y). (22)
При этом ищут генератор соответствующей однопараметрической группы Ли G в виде
U = ф, х, у) I + ф, х,у)?+ ф, х,у)^. (23)
ОДУ может допускать несколько точечных симметрии.
Алгеброй Ли дифференциального уравнения называется линейное пространство допускаемых им векторных полей, в котором введена операция коммутатор, действующая по правилу [IP, U3} = U1IJi _ \]з\]г для
любых векторных полей U1 = P-J- + rf , U3' = S3(х,у)-^- + ц](х,у)-^-.
ох ду дх ду
Из (16) имеем
fi(x,y) = ci, f2(x,y) =t + c2. (17)
Итак, оказалось, что группа G подобна группе трансляции
Zi = z, ti = t + а. (18)
Можно понизить порядок уравнения (1), введя новые переменные. За независимую переменную примем первый интеграл (инвариант) уравнения
dx _ dy ?(х,у) г)(х,уУ
который обозначим I(x,y) = со, а в качестве зависимой переменной примем первый дифференциальный инвариант, иными словами, не зависимый от 1(х, у), интеграл системы уравнений
dx _ dy _ dy'
352
Глава 6
Коммутатор обладает известными свойствами и может быть вычислен также по формуле
\u\ W] = {u\e) w(e))? + (и* W) u*(rf))j-.
Теорема С.Ли. Уравнение Ньютона допускает либо 0, либо 1, либо 2, либо 3, либо 8 точечных симметрии.
Таким образом, максимальная размерность алгебры Ли, допускаемая уравнением (1), равна 8. Это имеет место, например, для простейшего линейного уравнения у" = 0.
Важная роль принадлежит т. н. разрешимым алгебрам Ли. Если уравнение Ньютона допускает двумерную алгебру Ли, которая всегда разрешима, то оно интегрируемо.
Далее мы рассмотрим применение группового анализа, а также альтернативного подхода — метода автономизации — на конкретном примере.
3.2. Уравнение Эмдена (групповой анализ и автономизация)
Рассмотрим уравнение Эмдена с показателем нелинейности п = 5
у" + У + у5 = 0. (24)
Выбор показателя объясняется тем, что этот интегрируемый случай был исследован различными авторами с различных точек зрения. Применим к нему как классический метод С. Ли, так и метод автономизации.
Применение группового анализа. Составляем определяющее уравнение для нахождения точечных симметрии уравнения (24). Согласно (11)
U2F\F=0 ее 0, F = у" + У + у5, / = -У - у5. (25)
При F = O согласно (12) конкретный вид определяющего уравнения будет таков:
Vxx ~ь (2т]ху ?,хх)у ~ь {vyy ^?,ху)у ?,ууУ ЛУ+У5)иУ-Чх-Чуу')-^у'+Ьу\+^
