Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
r = -M(t)i-|r. (3)
2.4. Задача двух тел переменной массы при наличии гуковского возмущения
Уравнение относительного движения имеет вид
г = -m(t)^r - a(t)r, (4)
где возмущение a(t) является функцией времени.
2.5. Обобщенная задача двух тел переменной массы при наличии релеевского и гуковского возмущений
Весьма общая постановка нестационарной задачи двух тел получится, если рассматривать движение бесконечно малой постоянной массы
346
Глава 6
вокруг неподвижного притягивающего центра переменной массы, окруженного достаточно протяженной гравитирующей средой переменной плотности, которая оказывает сопротивление движению, пропорциональное скорости точки. Динамика такой системы описывается уравнением
г = -М*)4 -b{t)r-a(t)r, (5)
где коэффициенты b(t) и a(t) зависят от плотности вещества облака, которую принимаем за функцию времени. Если положить b = т/т, то (5) можно трактовать как уравнение движения задачи МЛЧ при наличии возмущающей силы гуковского характера.
2.6. Обобщенная задача двух тел переменной массы со степенным законом взаимодействия
Уравнение относительного движения имеет вид
Очевидно, что нестационарная схема (6) обобщает нестационарные схемы (1)-(5).
2.7. Обобщенная нестационарная задача двух тел при произвольном законе взаимодействия
Уравнение относительного движения берется в виде
г + GSi(?)r + ao(t)r = —fiit, г, f, r)r — j2{t, г, f, r)r, (7)
где /і, /2 — весьма произвольные функции своих аргументов, но линейные относительно г. В этом случае закон взаимодействия обобщает т. н. закон Вебера (1.3). Разумеется, постановка (7) является значительно более общей, чем даже (6). Весьма полные обзоры по проблеме двух тел переменной массы содержатся в работах (Лапин [162], Dommanget [296], Hadjidemetriou [318]).
Не подлежит сомнению, что роль нестационарных задач как в самой небесной механике, а также в ее приложениях будет гораздо большей, чем это имеет место в настоящее время, если получат распространение как уже разработанные, так и вновь созданные методы конструктивного анализа нестационарных и нелинейных систем дифференциальных уравнений, описывающих исследуемые задачи. Само собой разумеется, что эти же методы ждут своего применения и для исследования неавтономных (нестационарных) задач в других областях науки.
3. Групповой анализ и автономизация ОДУ
347
3. Групповой анализ и автономизация обыкновенных дифференциальных уравнений
С. Ли (Lie, Sheffers [350], Lie [351], Lie, Engel [352]) создал эффективный метод исследования на интегрируемость обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), когда они допускают точечные симметрии (однопараметрические группы), т.е. остаются инвариантными относительно них (см. также Овсянников [194], Олвер [196], Ибрагимов [132, 133]).
ЗЛ. Групповые свойства уравнения Ньютона
Рассмотрим общее ОДУ 2-го порядка, называемое уравнением Ньютона
у" = f(x,y,y'). (1)
Будем говорить, что уравнение (1) допускает однопараметрическую группу G точечных преобразований Та с параметром а на плоскости X =
= (х, у), где
X1 = <р(х,у;а)
Vi = Ф{х,у,а), к >
где а — параметр, а Є А, А = (—а, а), если при подстановке (1) в (2) уравнение (1) остается инвариантным с точностью до обозначений. При этом у[{хі) и Уі(х\) находятся, исходя из (2):
УІ(жі) = ф{х,у,у';а), у"{хг) = гр(х, у, у', у"; а). (3)
Пусть
X = ( х ) , X1 = ( Xl ) , X2 = I Х2
У J \Уі J \У2
Тот факт, что множество Gi, порожденное преобразованиями (2), образует группу, означает следующее:
ТаХ = X1, TbX1 = X2, ТаТъХ = X2 = ТСХ, с = Х(а, Ь), Ь, с Є А,
где произведение преобразований ТаТъХ означает Ть(ТаХ), т. е. на множестве X задана операция Та, обладающая следующими свойствами:
1°. Va, Ь, с Є А, (ТаТь)ТсХ = Та(ТьТс)Х;
2°. ЗТао, ао Є А, ТаоХ = X, ТаоТа = ТаТао = Та,
348
Глава 6
т. е. Тао - тождественное преобразование;
3°. VTa, ЗТа-г, а-1 Є Д, ТаТа-г = Та-гТа = Тао,
т. е. Та-і — обратное преобразование.
Уравнение (2) совместно с (3) образуют дважды продолженную одно-параметрическую группу, которую будем обозначать G2.
Группе G соответствует генератор (инфинитезимальный оператор, векторное поле)
и = ^у)§~х+Г]^у)Ь (4)
где
Є -? 7»-? (5)
Примеры однопараметрических групп. Пусть ao = 0. Группы трансляции.
Xi = X + а, V1 = y; U= -?-. X1 = х, ух = у + a; U = -?-.
Группа растяжения.
,„ =„рто. TT-п , _
ох ду
X1 = хеа, У1 = уета; U = X-JJ- + ту+}-. (Q)
Ортогональная группа.
і- -і л д д
X1 = X cosa + у sm a, V1 = — a; sin а + у cos a; U= у—--xjr-
С/\ij kj (j
Группа Лоренца.
х-ау у-ах g g
X1 = -————=, V1 = ¦ U = —у^:--X-—.
Ее можно представить также в виде гиперболического преобразования
д д
X1 = ж cosh a + ysinha, V1 = xsinha + w cosh a; U = y——Vx--.
y y y ¦ ydx dy
3. Групповой анализ и автономизация ОДУ 349
сіц ,di дц t _j (дц ді\ f2d?,
где
111 = fx V'fx = fx + V\fy fx) g' (8)
